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c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff

A2.3 L'equazione di Oppenheimer-Volkoff. Il raggio di Schwarzschild.

La formulazione newtoniana della gravitazione, così come inserita nella relazione dell'equilibrio idrostatico, non può essere mantenuta per campi gravitazionali estremi, quando l'energia gravitazionale delle particelle diventa non trascurabile a confronto dell'energia di massa $E = mc^2$. Occorre in tal caso ricorrere al formalismo della relatività generale. Adottando la metrica di Schwarzschild, che governa il campo gravitazionale a simmetria sferica generato da una massa “m”
$$ds^2 = - (1 -{r_g \over r}) d(ct)^2 + {1 \over {1 - r_g/r}} dr^2 +r^2(d\theta^2 +sin^2\theta d\Phi ^2)$$
dove
$$r_g = {2Gm \over c^2}$$
si giunge a riscrivere l'equazione dell'equilibrio idrostatico e quella della conservazione della massa nella forma generalizzata relativistica
$$\frac {dP}{dr}=-\frac {GM_r}{r^2} \rho (1 + \frac {P}{\rho c^2}) (1 + \frac {4 \pi r^3 P}{M_r c^2}) (1 - \frac {2GM_r}{rc^2})^{-1}$$
$$\frac {dM_r}{dr}= 4 \pi r^2 \rho$$
dove $M_r$, massa contenuta all'interno del raggio “r”. contiene il contributo non solo della massa a riposo delle particelle ma anche quello della loro energia.

Le strutture in cui si rende necessaria l'applicazione di un tale formalismo si collocano in qualche maniera ai due estremi delle normali strutture stellari: stelle supermassive e stelle di neutroni.

figura_02_08.jpg
Figura 2.8 La relazione massa densità centrale per le strutture di stelle di neutroni, La curva A indica la soluzione per un gas di neutroni liberi mentre le altre curve portano esempi di equazioni di stato più elaborate.

Per ciò che riguarda gli oggetti supermassivi ($M\sim 10^5-10^8 M_\odot $) è da notare che per i normali oggetti stellari esiste un limite superiore, a poco più di 100 $M_\odot$, per la formazione di strutture stabili. Ciò perchè al crescere della massa il crescente contributo della pressione di radiazione finisce col destabilizzare la stella. Al livello di supermassività indicato intervengono però due nuovi fattori che consentono, almeno in linea di principio, strutture gravitazionalmente legate. Infatti il campo gravitazionale efficace è enormemente accresciuto dall'equivalente in massa dell'energia e, nel contempo, i fotoni perdono energia nel propagarsi contro il campo gravitazionale, riducendo di molto gli effetti della pressione di radiazione.

Oggetti supermassivi sono stati nel passato invocati per giustificare l'emissione luminosa da nuclei galattici, radiosorgenti e quasar. Per quanto tale ipotesi sia stata ormai abbandonata, è da notare che da una struttura di $10^5 M_\odot$ nelle fasi iniziali di combustione di idrogeno si attendono $\sim 10^{43}$ erg/sec, con temperature efficaci $(\rightarrow 1.7.1) T_e\sim 6 \ 10^4 K$. Il confronto con la luminosità del Sole $(\sim 10^{33} erg/sec)$ rivela come in tali oggetti supermassivi il rapporto luminosità/massa risulti dell'ordine di $\sim 10^5$ volte di quello solare.

A causa delle elevatissime densità, anche stelle di neutroni che eventualmente si producano nell'esplosione di Supernovae sono caratterizzate da campi gravitazionali estremamente intensi, e necessitano quindi di un trattamento relativistico. Se si assume che i neutroni si comportino come un gas di fermioni liberi ($\rightarrow A3.2$) per essi vale un equazione di stato del tipo
$$ P = P(\rho)\sim 4 * 10^{19} \rho^{5/3}$$
che, unita alle due precedenti relazioni, consente di definire la struttura dell'oggetto (caso politropico $\rightarrow A5.1$). Se ne ottiene una relazione massa-densità centrale che raggiunge un massimo per $M=0.7M_\odot$ (Fig.2.8). E' subito visto che strutture al di sopra di tale limite non sono stabili: una fluttuazione della densità centrale porterebbe la stella fuori dall'equilibrio, innescando una contrazione e,di qui, un processo di collasso reazionato positivamente.

L'approssimazione di un gas di fermioni appare peraltro inadeguata, perchè a densità che raggiungono e superano quelle nucleari interverranno certamente interazioni a molti corpi tra le particelle. Equazioni di stato più realistiche appaiono spostare il precedente limite sino a 2-3 $M_\odot$ (Fig. 2.8). Al di sopra di queste masse non si trovano meccanismi in grado di fermare il collasso della struttura, che dovrebbe quindi procedere indefinitamente.

Al riguardo è facile verificare come l'equazione dell'equilibrio presenti una singolarità per
$$r=\frac{2GM}{c^2}$$
E' questo il cosiddetto raggio di Schwarzschild. Anche nell'approssimazione non relativistica si verifica facilmente che, per ogni massa, a tale raggio corrisponde una velocità di fuga pari alla velocità della luce. In generale si trova che quando il collasso raggiunge il raggio di Schwarzschild i fotoni non sono ulteriormente in grado di sfuggire dall'oggetto collassante, che quindi cessa di avere un tale canale di comunicazione elettromagnetica con il resto dell'Universo (diventando una buca nera).




c02/equazione_di_oppenheimer-volkoff.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:11 da marco