c02:p0206
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---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== 2.6 Metodi di calcolo ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | L' | ||
+ | stellare è dunque retto da un sistema di quattro equazioni | ||
+ | differenziali che, integrato con l' | ||
+ | ricavare l' | ||
+ | sesta assunta come variabile indipendente per ogni prefissato | ||
+ | valore della massa M della struttura e per ogni prefissata | ||
+ | distribuzione della composizione della materia all' interno della | ||
+ | struttura medesima. Notiamo subito | ||
+ | equazioni differenziali del primo ordine richiederà | ||
+ | l' | ||
+ | Stante la complessità del sistema non esistono in generale | ||
+ | soluzioni analitiche e la soluzione è ottenuta sulla base di | ||
+ | tecniche di calcolo numeriche basate su [[wp.it> | ||
+ | finite]], ove cioè i differenziali sono approssimati con | ||
+ | incrementi piccoli ma finiti, così che le //relazioni | ||
+ | differenziali// | ||
+ | |||
+ | Prima di illustrare i due diversi metodi in uso per la soluzione | ||
+ | di tali equazioni discuteremo l' | ||
+ | in quanto ingrediente di base che entra nell' | ||
+ | i metodi cui abbiamo fatto riferimento. | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ===== 2.6.1 Integrazione degli strati atmosferici ===== | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | Ricordiamo che per gli strati atmosferici abbiamo stabilito la | ||
+ | [[c02: | ||
+ | finite può essere scritta come | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ [19] \ \ P_{j+1} - P_j = \frac {g}{\overline \kappa} (\tau_{j+1} -\tau_j)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ove, in accordo con il metodo delle differenze finite, | ||
+ | l' | ||
+ | opportunamente suddiviso prefissando N valori | ||
+ | variabile indipendente (N //mesh//) per j che va da 1 a N. < | ||
+ | è il valore, da determinare, | ||
+ | " | ||
+ | ulteriori relazioni, qui ripetute per comodità | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | T = T ( $\tau$, T$_e$ ) | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | P = P ( $\rho$, T ) | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Tali relazioni consentono di ricavare l' | ||
+ | <m>P, rho, T</m> in un atmosfera stellare per ogni prefissato valore | ||
+ | della massa stellare M, quando siano assegnati due tra i tre | ||
+ | parametri <m>R, L e T_e</ | ||
+ | relazione <m>L = 4 pi R^2 sigma {T_e}^4</ | ||
+ | come d'uso, <m>M, L</m> ed < | ||
+ | < | ||
+ | Sotto tali condizioni, note le grandezze nel generico punto j la | ||
+ | (19) fornisce il valore della pressione nel punto j+1 | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_{j+1}= | ||
+ | \\ | ||
+ | la temperatura nello stesso punto j+1 è fornita dalla | ||
+ | $T(\tau, T_e)$, dall' | ||
+ | densità e, con essa, il valore | ||
+ | Basta quindi fornire | ||
+ | (right A2.6)</ | ||
+ | ricorrenza l' | ||
+ | su tutto l' | ||
+ | |||
+ | Tale integrazione //per tangenti// (cfr. fig.2.5) risulterà | ||
+ | tanto più accurata quanto più piccoli gli intervalli | ||
+ | (// | ||
+ | possono essere collegati alla condizione che la variabile | ||
+ | dipendente lungo un passo non vari più di una prefissata | ||
+ | percentuale, | ||
+ | controllata verificando, | ||
+ | dei passi non vari il risultato entro la richiesta precisione. | ||
+ | Sulla base di tale schema sono costruiti algoritmi di calcolo | ||
+ | numerico (ad es. il [[wp.it> | ||
+ | di opportuni coefficienti di correzione basati sull' | ||
+ | funzione già integrata consentono di minimizzare il numero di | ||
+ | passi per ogni prefissata precisione. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | ===== 2.6.2 Il metodo del fitting ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Per ogni prefissato valore della massa totale | ||
+ | dei due parametri L e T< | ||
+ | P e T (e quindi < | ||
+ | disponibili i valori di tutte e sei le variabili | ||
+ | \\ | ||
+ | $$r=R, L_r=L, P, T, \rho, M_r=M$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | che compaiono nel sistema di equazioni per l' | ||
+ | Supponendo di utilizzare subito come variabile indipendente M< | ||
+ | possiamo riscrivere le equazioni di equilibrio in funzioni | ||
+ | della variazioni di tale variabile. Ponendo < | ||
+ | passando nuovamente allo schema di differenze finite si ottiene | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [21] < | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [22] < | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [23] < | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | se < | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [24] < | ||
+ | \\ | ||
+ | [25] < | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Analogamente a quanto già discusso per l' | ||
+ | atmosferica, | ||
+ | variabili r, L _r , P, T, | ||
+ | $\overline \kappa (\rho, T)$ e $\varepsilon (\rho, T)$ sono noti i | ||
+ | valori di tutti i coefficienti a secondo membro delle relazioni | ||
+ | precedenti, e per ogni assunto | ||
+ | M_{r,j}$ le relazioni forniscono il valore delle variabili nel | ||
+ | mesh j+1. Partendo dal primo mesh, alla base dell' | ||
+ | l' | ||
+ | lungo tutta la struttura. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 2.5** Nell' | ||
+ | della derivata della generica variabile Y(X) nel mesh X< | ||
+ | si pone Y< | ||
+ | valutando così la variazione lungo la tangente definita dalla derivata | ||
+ | in X< | ||
+ | < | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | Perchè il risultato possa rappresentare una stella occorre e | ||
+ | basta che per $M_r = 0$ (centro della struttura) risulti r = 0 e | ||
+ | $L _r = 0$. In linea di principio si potrebbe pensare di | ||
+ | identificare la soluzione variando opportunamente i valori di L e | ||
+ | T< | ||
+ | centrali. Nella pratica ciò non è consentito dalla eccessiva | ||
+ | sensibilità delle soluzioni a $M _r = 0$ dalle condizioni | ||
+ | superficiali. Il metodo del " | ||
+ | questa difficoltà procedendo ad una integrazione dall' esterno a | ||
+ | partire una coppia di valori | ||
+ | l' | ||
+ | M _F// (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una | ||
+ | quadrupletta di valori $r ^e , L _r^e , P ^e , T ^e$, ove l' | ||
+ | " | ||
+ | dell' | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L, T _e \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e )$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della | ||
+ | quadrupletta dai due assunti valori di prova L e T< | ||
+ | poi ad una integrazione dal centro imponendo in tale punto | ||
+ | $r = L _r = 0$ e assumendo due valori di prova P< | ||
+ | nello stesso punto di fitting un' | ||
+ | $r ^i , L _r^i , P ^i , T ^i$ , | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P _c , T _c \Rightarrow r^i (P _c , T _c ), L _r^i (P _c , T _c ), P ^i (P _c , T _c ), T ^i (P _c , T _c )$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e l' | ||
+ | vengano a coincidere. | ||
+ | |||
+ | In generale, le integrazioni basate sui parametri di | ||
+ | prova forniranno al fitting valori non concordanti, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$r^e -r^i = \varepsilon _r$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L_r^e -L_r^i = \varepsilon _L$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P^e -P^i = \varepsilon _P$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$T^e -T^i = \varepsilon _T$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno | ||
+ | dai valori di prova assunti, rispettivamente, | ||
+ | $P_c , T_c$, //il metodo del fitting consiste nel valutare quali le | ||
+ | variazioni da apportare ai quattro valori | ||
+ | discrepanze tra le due quadruplette//, | ||
+ | le discrepanze $(P^i - P^e )/P^i$ e simili scendano al di | ||
+ | sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di | ||
+ | 10< | ||
+ | |||
+ | |||
+ | In approssimazione lineare, la variazione dei valori delle quadruplette può essere espressa in funzione delle derivate parziali dei valori medesimi rispetto ai relativi valori di prova. Così, ad esempio | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Delta P^e = (\partial P^e / \partial L)_{Te=cost} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e, corrispondentemente, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Delta P^i = (\partial P^i / \partial P_c)_ {Tc=cost} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Sulla base di simili relazioni, per la variazione delle discrepanze si ottiene | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [26] | ||
+ | $$\Delta (r^e - r^i) = | ||
+ | (\frac{\partial r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L + | ||
+ | (\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
+ | (\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c + | ||
+ | (\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [27] | ||
+ | $$\Delta (L_r^e -L_ r^i) = | ||
+ | (\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L + | ||
+ | (\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
+ | (\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c + | ||
+ | (\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [28] | ||
+ | $$\Delta (P^e - P^i) = | ||
+ | (\frac{\partial P^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L + | ||
+ | (\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
+ | (\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c + | ||
+ | (\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | [29] | ||
+ | $$\Delta (T^e - T^i) = | ||
+ | (\frac{\partial T^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L + | ||
+ | (\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
+ | (\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c + | ||
+ | (\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ {P_c} \Delta T_c$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario | ||
+ | alle discrepanze | ||
+ | le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i | ||
+ | valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro | ||
+ | equazioni nelle quattro incognite | ||
+ | | ||
+ | (i=1,4).$ | ||
+ | |||
+ | I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni, | ||
+ | due dall' esterno e due dall' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L + \delta L , T_e$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L, T _e + \delta T_e$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_c , T _c + \delta T_c$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_c + \delta P_c , T_c$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | e ponendo per la generica variabile $X ^i_j (j=1, 4), X^e_j (j=1,4)$ | ||
+ | \\ | ||
+ | [30] | ||
+ | $$\frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e simili per le derivate rispetto alle altre tre condizioni al | ||
+ | contorno. La soluzione del sistema di quattro equazioni lineari | ||
+ | fornisce le quattro correzioni alle condizioni al contorno sulla | ||
+ | base delle quali operare una nuova coppia di integrazione | ||
+ | esterno-interno. Poichè la linearità del sistema delle | ||
+ | correzioni e' solo una approssimazione al primo ordine, la | ||
+ | soluzione viene in genere raggiunta attraverso una serie di | ||
+ | iterazioni, sempre che le iniziali condizioni al contorno non | ||
+ | siano troppo distanti da quelle finali, risultando all' | ||
+ | quella che viene definita l' //area di convergenza// | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ===== 2.6.3 Il metodo di Henyey ===== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel | ||
+ | adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un | ||
+ | valore | ||
+ | ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori. | ||
+ | |||
+ | Possiamo riscrivere le equazioni dell' | ||
+ | differenze finite e portando tutti i termini a primo membro, | ||
+ | ottenendo - ponendoci ad esempio nel caso di equilibrio radiativo - le | ||
+ | quattro relazioni algebriche | ||
+ | \\ | ||
+ | $$(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | $$(M_{r, | ||
+ | |||
+ | $$(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | $$(L_{r, | ||
+ | |||
+ | Poiché la soluzione di prova non soddisfa le equazioni di | ||
+ | equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate, | ||
+ | ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N | ||
+ | mesh, una discrepanza | ||
+ | |||
+ | $$\delta_{i, | ||
+ | |||
+ | Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N | ||
+ | singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di | ||
+ | azzerare i 4N-4 $\delta_{i, | ||
+ | equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura. | ||
+ | |||
+ | Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente < | ||
+ | avendo dunque prefissato il valore di M$_r$ in opportuni //mesh// spaziati | ||
+ | lungo la struttura, il generico $\delta_{i, | ||
+ | dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1 | ||
+ | |||
+ | $$\delta_{i, | ||
+ | P_{j+1}, T_{j+1} )$$ | ||
+ | |||
+ | di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle | ||
+ | derivate parziali rispetto alle otto variabili. | ||
+ | |||
+ | Per la dipendenza del generico $\delta_{i, | ||
+ | potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle | ||
+ | 4 equazioni dell' | ||
+ | valore variabili | ||
+ | |||
+ | $$\Delta \delta_{i, | ||
+ | + \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | $$ + \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \frac {\partial \delta_{i, | ||
+ | \\ | ||
+ | imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione $\delta{i, | ||
+ | una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si | ||
+ | ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Delta {r_j}, \Delta L{r,j}, \Delta {P_j}, \Delta {T_j} $$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra - | ||
+ | come dovevamo attenderci - che la soluzione richiede l' | ||
+ | di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano | ||
+ | immediatamente osservando che al centro della struttura deve | ||
+ | risultare e rimanere $r = L$_r$ = 0$, e quindi | ||
+ | \\ | ||
+ | $\Delta {r_1} = 0, \Delta L_{r,1} = 0$ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Restano dunque 4n-2 incognite. Le altre due condizioni risultano | ||
+ | dall' | ||
+ | atmosfera. Sappiamo infatti che le variabili fisiche alla base | ||
+ | dell' | ||
+ | valori L e T< | ||
+ | ulteriori condizioni | ||
+ | \\ | ||
+ | $$r_N = f_1(L, | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L_{r,N} = f_2(L, | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_N = f_3(L, | ||
+ | \\ | ||
+ | $$T_N = f_4(L, | ||
+ | \\ | ||
+ | che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite | ||
+ | (L e T< | ||
+ | in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni | ||
+ | successive ($\rightarrow$ A2.8), fornendo i valori delle | ||
+ | correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per | ||
+ | verificare le equazioni dell' | ||
+ | linearizzato il problema, la soluzione sarà in genere raggiunta | ||
+ | tramite una serie di iterazioni, sempre che le funzioni di prova | ||
+ | siano assegnate all' | ||
+ | </ | ||
+ | \\ | ||
+ | ---- | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~DISQUS~~ |