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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== 2.6 Metodi di calcolo ======
+<WRAP justify>
+L'andamento delle variabili fisiche all'interno di una struttura
+stellare è dunque retto da un sistema di quattro equazioni
+differenziali che, integrato con l'equazione di stato, consente di
+ricavare l'andamento di cinque delle variabili in funzione di una
+sesta assunta come variabile indipendente per ogni prefissato
+valore della massa M della struttura e per ogni prefissata
+distribuzione della composizione della materia all' interno della
+struttura medesima. Notiamo subito  che l'esistenza di quattro
+equazioni differenziali del primo ordine richiederà
+l'individuazione di quattro opportune condizioni al contorno.
+Stante la complessità del sistema non esistono in generale
+soluzioni analitiche e la soluzione è ottenuta sulla base di
+tecniche di calcolo numeriche basate su [[wp.it>Metodo_delle_differenze_finite|metodi a differenze
+finite]], ove cioè i differenziali sono approssimati con
+incrementi piccoli ma finiti, così che le //relazioni
+differenziali// vengono trasformate in //equazioni algebriche//.
+Prima di illustrare i due diversi metodi in uso per la soluzione
+di tali equazioni discuteremo l'integrazione degli strati atmosferici,
+in quanto ingrediente di base che entra nell'architettura di tutti e due
+i metodi cui abbiamo fatto riferimento.
+\\
+\\
+ ===== 2.6.1 Integrazione degli strati atmosferici =====
+Ricordiamo che per gli strati atmosferici abbiamo stabilito la
+[[c02:p0204|relazione differenziale (2.15)]] che, in termini di differenze
+finite può essere scritta come
+\\
+\\
+$$ [19] \ \ P_{j+1} - P_j = \frac {g}{\overline \kappa} (\tau_{j+1} -\tau_j)$$
+\\
+\\
+ove, in accordo con il metodo delle differenze finite,
+l'intervallo di integrazione <m>0 >= tau >= 1</m>  è stato
+opportunamente suddiviso prefissando N valori  <m>tau_j</m>  della
+variabile indipendente (N //mesh//) per j che va da 1 a N. <m>P_j</m>
+è il valore, da determinare, della variabile nel generico punto
+"j". Accanto a questa relazione differenziale abbiamo le due
+ulteriori relazioni, qui  ripetute per comodità
+\\
+\\
+T = T ( $\tau$, T$_e$ )
+\\
+\\
+P = P ( $\rho$, T )
+\\
+\\
+Tali relazioni consentono di ricavare l'andamento delle variabili
+<m>P, rho, T</m> in un atmosfera stellare per ogni prefissato valore
+della massa stellare M, quando siano assegnati due tra i tre
+parametri <m>R, L e T_e</m>  il terzo restando determinato dalla
+relazione <m>L = 4 pi R^2 sigma {T_e}^4</m>. Assegnando ad esempio,
+come d'uso, <m>M, L</m> ed <m>R</m>  restano fissati <m>g = G M/R^2</m>  e
+<m>T_e</m>.
+Sotto tali condizioni, note le grandezze nel generico punto j la
+(19) fornisce il valore della pressione nel punto j+1
+\\
+$$P_{j+1}=  P_j + \frac {g}{\kappa} ( \tau_{j+1} - \tau_j)$$
+\\
+la temperatura nello stesso punto j+1 è fornita dalla
+$T(\tau, T_e)$, dall'equazione di stato si ricava allora la
+densità e, con essa, il valore  di  <m>overline{kappa}(rho, T)</m>.
+Basta quindi fornire  i valori per  <m>tau  = 0 (N = 1)
+(right A2.6)</m> per ricavare per
+ricorrenza l'andamento di <m>P, rho , T</m>
+su tutto l'intervallo considerato.
+Tale integrazione //per tangenti// (cfr. fig.2.5) risulterà
+tanto più accurata quanto più piccoli gli intervalli
+(//passi//)  della variabile indipendente. Nella pratica, tali passi
+possono essere collegati alla condizione che la variabile
+dipendente lungo un passo non vari più di una prefissata
+percentuale, e la bontà dell'integrazione può essere
+controllata verificando, ad esempio, che un ulteriore dimezzamento
+dei passi non vari il risultato entro la richiesta precisione.
+Sulla base di tale schema sono costruiti algoritmi di calcolo
+numerico (ad es. il [[wp.it>Metodi_di_Runge-Kutta|metodo di Runge-Kutta]]) che, con l'introduzione
+di opportuni coefficienti di correzione basati sull'andamento della
+funzione già integrata consentono di minimizzare il numero di
+passi per ogni prefissata precisione.
+\\
+\\
+===== 2.6.2 Il metodo del fitting =====
+Per ogni prefissato valore della massa totale  M e per ogni scelta
+dei due parametri L e T<sub>e</sub>  si possono quindi ricavare i valori di
+P e T (e quindi <m>rho</m> ) alla base dell'atmosfera, ove sono quindi
+disponibili i valori di tutte e sei le variabili
+\\
+$$r=R, L_r=L, P, T, \rho, M_r=M$$
+\\
+che compaiono nel sistema di equazioni per l'equilibrio stellare.
+Supponendo di utilizzare subito come variabile indipendente M<sub>r</sub>,
+possiamo riscrivere le equazioni di equilibrio in funzioni
+della variazioni di tale variabile. Ponendo <m>dr=dM_r/{4 pi r^2 rho}</m>  e
+passando nuovamente allo schema di differenze finite si ottiene
+\\
+\\
+[21] <m>P_{j+1}-P_j=-G M_{r,j}/{4 pi {r_j}^4}(M_{r,j+1}  - M_{r,j})</m>
+\\
+\\
+[22] <m>r_{j+1}-r_j={M_{r,j+1}-M_{r,j}}/{4 pi {r_j}^2 rho}</m>
+\\
+\\
+[23] <m>T_{j+1} - T_j = - {{3 overline{kappa} L_{r,j}}/{64 a c pi^2  r^4}} * {1/{T^3} (M_ r,j+1  - M_ r,j )}</m>
+\\
+\\
+se <m>(dT/dP)_rad  <= (dT/dP)_ad</m>  , altrimenti
+\\
+\\
+[24] <m>T_{j+1}  - T_j = - G M_{r,j} / {4 pi r^4} (dT/dP)_ ad  (M_{r,j+1}  - M_{r,j})</m>
+\\
+[25] <m>L_{r,j+1}  - L_{r,j} = varepsilon</m>
+\\
+Analogamente a quanto già discusso per l'integrazione
+atmosferica, se nel mesh <m>M_r,j</m>  sono noti i valori delle
+variabili r, L _r , P, T,$\rho$  (dall'equazione di stato),
+$\overline \kappa (\rho, T)$  e $\varepsilon (\rho, T)$  sono noti i
+valori di tutti i coefficienti a secondo membro delle relazioni
+precedenti, e per ogni assunto  $\Delta M_r  =  M_{r,j+1}  -
+M_{r,j}$ le relazioni forniscono il valore delle variabili nel
+mesh j+1. Partendo dal primo mesh, alla base dell'atmosfera,
+l'iterazione di tale procedura consente di spingere l'integrazione
+lungo tutta la struttura.
+{{:c02:figura_02_05.jpg?400}}
+\\
+**Figura 2.5** Nell'integrazione per tangenti, noto il valore
+della derivata della generica variabile Y(X) nel mesh X<sub>j</sub>,
+si pone Y<sub>j+1</sub>=(dY/dX)<sub>j</sub>(X<sub>j+1</sub>-X<sub>j</sub>),
+valutando così la variazione lungo la tangente definita dalla derivata
+in X<sub>j</sub>, con un errore che diminuisce al diminuire dell'assunto
+<m>Delta X</m>.
+\\
+\\
+Perchè il risultato possa rappresentare una stella occorre e
+basta che per $M_r  = 0$  (centro della struttura) risulti r = 0 e
+$L _r  = 0$. In linea di principio si potrebbe pensare di
+identificare la soluzione variando opportunamente i valori di L e
+T<sub>e</sub>  di partenza, sino a soddisfare le citate condizioni
+centrali. Nella pratica ciò non è consentito dalla eccessiva
+sensibilità delle soluzioni a $M _r  = 0$ dalle condizioni
+superficiali. Il metodo del "fitting" (cioè del raccordo) supera
+questa difficoltà procedendo ad una integrazione dall' esterno a
+partire una coppia di valori  //di prova//  L e T _e , spingendo
+l'integrazione sino ad un prefissato valore della massa //M _r  =
+M _F//  (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una
+quadrupletta di valori $r ^e , L _r^e , P ^e , T ^e$, ove l'indice
+"e" sta ad indicare che tali valori sono il risultato
+dell'integrazione esterna.
+\\
+$$L, T _e  \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e  (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e )$$
+\\
+ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della
+quadrupletta dai due assunti valori di prova L e T<sub>e</sub> . Si procede
+poi ad una integrazione dal centro imponendo in tale punto
+$r = L _r  = 0$ e assumendo due valori di prova P<sub>c</sub>  e T<sub>c</sub>  ricavando
+nello stesso punto di fitting un'altra quadrupletta di valori
+$r ^i , L _r^i , P ^i , T ^i$ ,
+\\
+\\
+$$P _c , T _c  \Rightarrow r^i (P _c , T _c ), L _r^i (P _c , T _c ), P ^i (P _c , T _c ), T ^i (P _c , T _c )$$
+\\
+\\
+e l'integrazione sarà corretta solo quando le due quadruplette
+vengano a coincidere.
+In generale, le integrazioni basate sui parametri di
+prova forniranno al fitting valori non concordanti, e porremo per tali //discrepanze//
+\\
+\\
+$$r^e -r^i = \varepsilon _r$$
+\\
+\\
+$$L_r^e -L_r^i = \varepsilon _L$$
+\\
+\\
+$$P^e -P^i = \varepsilon _P$$
+\\
+\\
+$$T^e -T^i = \varepsilon _T$$
+\\
+\\
+Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno
+dai valori di prova assunti, rispettivamente, per $L, T_e$  e
+$P_c , T_c$, //il metodo del fitting consiste nel valutare quali le
+variazioni da apportare ai quattro valori  di prova per annullare le
+discrepanze tra le due quadruplette//, o - nella pratica - perchè
+le discrepanze $(P^i  - P^e )/P^i$ e simili scendano al di
+sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di
+<sup>-4</sup>.
+In approssimazione lineare, la variazione dei valori delle quadruplette può essere espressa in funzione delle derivate parziali dei valori medesimi rispetto ai relativi valori di prova. Così, ad esempio
+\\
+\\
+$$\Delta P^e = (\partial P^e / \partial L)_{Te=cost}  \Delta L + (\partial P^e / \partial T_e)_ {L=cost}  \Delta T_e$$
+\\
+\\
+e, corrispondentemente,
+\\
+\\
+$$\Delta P^i = (\partial P^i / \partial P_c)_ {Tc=cost}  \Delta P_c + (\partial P^i / \partial T_c)_{P_c=cost}  \Delta T_c$$
+\\
+\\
+Sulla base di simili relazioni, per la variazione delle discrepanze si ottiene
+\\
+\\
+[26]
+$$\Delta (r^e - r^i) =
+(\frac{\partial r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +
+(\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +
+(\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +
+(\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
+\\
+\\
+[27]
+$$\Delta (L_r^e -L_ r^i) =
+(\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +
+(\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +
+(\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +
+(\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
+\\
+\\
+[28]
+$$\Delta (P^e - P^i) =
+(\frac{\partial P^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +
+(\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +
+(\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +
+(\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
+\\
+\\
+[29]
+$$\Delta (T^e - T^i) =
+(\frac{\partial T^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +
+(\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +
+(\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +
+(\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ {P_c} \Delta T_c$$
+\\
+\\
+Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario
+alle discrepanze  $\varepsilon_i  (i = 1, 4)$, così da annullare
+le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i
+valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro
+equazioni nelle quattro incognite  $\Delta L$ ,  $\Delta T_e$ .
+ $\Delta P_c$, $\Delta T_c$  e con termini noti $ - \varepsilon_i
+(i=1,4).$
+I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni,
+due dall' esterno e due dall'interno, a partire dai valori al contorno
+\\
+\\
+$$L +  \delta L , T_e$$
+\\
+$$L,  T _e  +  \delta T_e$$
+\\
+$$P_c , T _c  +  \delta T_c$$
+\\
+$$P_c  +  \delta P_c , T_c$$
+\\
+e ponendo per la generica variabile $X ^i_j  (j=1, 4), X^e_j (j=1,4)$
+\\
+[30]
+$$\frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L}$$
+\\
+\\
+e simili per le derivate rispetto alle altre tre condizioni al
+contorno. La soluzione del sistema di quattro equazioni lineari
+fornisce le quattro correzioni alle condizioni al contorno sulla
+base delle quali operare una nuova coppia di integrazione
+esterno-interno. Poichè la linearità del sistema delle
+correzioni e' solo una approssimazione al primo  ordine, la
+soluzione viene in genere raggiunta attraverso una serie di
+iterazioni, sempre che le iniziali condizioni al contorno non
+siano troppo distanti da quelle finali, risultando all'interno di
+quella che viene definita l' //area di convergenza//.
+\\
+\\
+===== 2.6.3 Il metodo di Henyey =====
+Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel
+adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un
+valore  delle funzioni $(M$_r$), L$_r$(M$_r$), P(M$_r$), T(M$_r$)$,
+ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori.
+Possiamo riscrivere le equazioni dell'equilibrio sotto forma di
+differenze finite e portando tutti i termini a primo membro,
+ottenendo - ponendoci ad esempio nel caso di equilibrio radiativo - le
+quattro relazioni algebriche
+\\
+$$(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$$
+$$(M_{r,j+1} - M_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \rho = 0$$
+$$(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$$
+$$(L_{r,j+1} - L_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \varepsilon = 0$$
+Poiché la soluzione di prova non soddisfa le equazioni di
+equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate,
+ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N
+mesh, una discrepanza
+$$\delta_{i,j}  \ \ ( i=1,4 ; j=1, N-1)$$
+Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N
+singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di
+azzerare i 4N-4 $\delta_{i,j}$ così che le relazioni di
+equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura.
+Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente <tex>M$_r$</tex> ed
+avendo dunque prefissato il valore di M$_r$ in opportuni //mesh// spaziati
+lungo la struttura, il generico $\delta_{i,j}$ resta una funzione algebrica
+dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1
+$$\delta_{i,j} = f(r_j, L_{r,j}, P_j, T_j, r_{j+1}, L_{r,j+1},
+P_{j+1}, T_{j+1} )$$
+di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle
+derivate parziali rispetto alle otto variabili.
+Per la dipendenza del generico $\delta_{i,j}$ dalle funzioni di prova
+potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle
+equazioni dell'equilibrio una relazione che lega le discrepanze al
+valore variabili
+$$\Delta \delta_{i,j} = \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_j}  \Delta r_j
++ \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial L_{r,j}} \Delta L_{r,j} +
+\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_j} \Delta {P_j} +
+\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial T_j} \Delta {T_j} +
+\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_{j+1}} \Delta r_{j+1}  + $$
+$$ + \frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial L_{r,j+1}} \Delta L_{r,j+1} +
+\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_{j+1}} \Delta P_{j+1}+
+\frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial r_{j+1}} \Delta T_{j+1}$$
+\\
+imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione $\delta{i,j}$ subisca
+una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si
+ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite
+\\
+$$\Delta {r_j}, \Delta L{r,j}, \Delta {P_j}, \Delta {T_j} $$   (j=1,N)
+\\
+Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra -
+come dovevamo attenderci - che la soluzione richiede l'intervento
+di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano
+immediatamente osservando che al centro della struttura deve
+risultare e rimanere $r = L$_r$ = 0$, e quindi
+\\
+$\Delta {r_1} = 0, \Delta L_{r,1} = 0$
+\\
+\\
+Restano dunque 4n-2 incognite. Le altre due condizioni risultano
+dall'imporre che l'ultimo mesh (N) debba essere alla base dell'
+atmosfera. Sappiamo infatti che le variabili fisiche alla base
+dell'atmosfera sono note non appena sia assegnata una coppia di
+valori L e T<sub>e</sub>. Per l'ultimo mesh devono valere dunque le
+ulteriori condizioni
+\\
+$$r_N = f_1(L,T_e)$$
+\\
+$$L_{r,N} = f_2(L,T_e)$$
+\\
+$$P_N = f_3(L,T_e)$$
+\\
+$$T_N = f_4(L,T_e)$$
+\\
+che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite
+(L e T<sub>e</sub>). In totale abbiamo dunque un sistema di 4N equazioni
+in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni
+successive ($\rightarrow$ A2.8), fornendo i valori delle
+correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per
+verificare le equazioni dell'equilibrio. Avendo nuovamente
+linearizzato il problema, la soluzione sarà in genere raggiunta
+tramite una serie di iterazioni, sempre che le funzioni di prova
+siano assegnate all'interno di un'area di convergenza.
+</WRAP>
+\\
+----
+\\
+~~DISQUS~~