c02:teoria_mixing-lenght
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A2.5 La teoria della mixing-length ====== | ====== A2.5 La teoria della mixing-length ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento | Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento | ||
di elementi di convezione (" | di elementi di convezione (" | ||
Linea 6: | Linea 7: | ||
" | " | ||
circostante. Il tragitto " | circostante. Il tragitto " | ||
- | rimescolamento// | + | rimescolamento// |
è il gradiente | è il gradiente | ||
dell' | dell' | ||
temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto | temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto | ||
\\ | \\ | ||
+ | $$\Delta T=[(dT/ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | Poichè $dP/dr$ è negativo, si riconosce immediatamente che vi |
- | $$\Delta T=[(dT/ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | Poichè | + | |
sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo | sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo | ||
quando la zona è instabile per convezione, cioè | quando la zona è instabile per convezione, cioè | ||
- | <tex>$dT/dP $>$ (dT/ | + | $dT/dP $>$ (dT/ |
- | (Criterio di Schwarzschild | + | (Criterio di Schwarzschild $\rightarrow 2.2$) |
- | + | \\ | |
{{: | {{: | ||
\\ | \\ | ||
**Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra) | **Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra) | ||
- | e del peso molecolare | + | e del peso molecolare $\mu$ (scala di sinistra) in funzione della |
pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II, | pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II, | ||
- | <tex>1.5 M$_{\odot}$</ | + | 1.5 M$_{\odot}$ in Sequenza Principale, log T< |
gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie | gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie | ||
il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno. | il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno. | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | |||
{{: | {{: | ||
- | |||
\\ | \\ | ||
**Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una | **Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una | ||
- | stella di 1.25 <tex>M$_{\odot}$</ | + | stella di 1.25 M$_{\odot}$, |
temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni | temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni | ||
più interne (più dense) il gradiente locale tende al | più interne (più dense) il gradiente locale tende al | ||
Linea 46: | Linea 39: | ||
\\ | \\ | ||
Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il | Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il | ||
- | calore scambiato al termine del tragitto sarà < | + | calore scambiato al termine del tragitto sarà $MC_P \Delta T$, |
ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo | ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo | ||
che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava | che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava | ||
per il flusso trasportato dalla convezione | per il flusso trasportato dalla convezione | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$ | $$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
L' | L' | ||
un trasporto radiativo (< | un trasporto radiativo (< | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$ | $$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava | così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} - | $$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} - | ||
(\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}) | (\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}) | ||
| | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
da cui | da cui | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}} | $$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}} | ||
{\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$ | {\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente | Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente | ||
- | <tex>($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/ | + | ($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/ |
convezione dominante | convezione dominante | ||
- | <tex>($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr | + | ($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr |
\rightarrow (dT/ | \rightarrow (dT/ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 97: | Linea 73: | ||
sull' | sull' | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$F=g \Delta \rho V$$ | $$F=g \Delta \rho V$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
dove g è la gravità locale, V il volume dell' | dove g è la gravità locale, V il volume dell' | ||
- | <tex>$\Delta \rho$</ | + | $\Delta \rho$ è la differenza di densità tra l' |
bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi | bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi | ||
variazioni del grado di ionizzazione) | variazioni del grado di ionizzazione) | ||
- | <tex>$\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$</ | + | $\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$, |
dove per ogni tragitto parziale x | dove per ogni tragitto parziale x | ||
- | <tex> | ||
($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/ | ($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/ | ||
- | </ | ||
Applicando il [[Wp.it> | Applicando il [[Wp.it> | ||
forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene | forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene | ||
così al termine del tragitto | così al termine del tragitto | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V | $$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V | ||
\frac {\Delta T}{T}xdx$$ | \frac {\Delta T}{T}xdx$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
da cui | da cui | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | $$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | ||
(\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l | (\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l | ||
xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | ||
(\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$ | (\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | Introducendo come valori medi lungo la traiettoria $v=v(l)/2$ e |
- | Introducendo come valori medi lungo la traiettoria | + | $\Delta T(l)= \Delta T/2$, osservando che per l' |
- | <tex>$\Delta T(l)= \Delta T/2$</ | + | |
idrostatico si ha che | idrostatico si ha che | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} = | $$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} = | ||
-\frac{dT}{dP}g\rho$$ | -\frac{dT}{dP}g\rho$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
si ricava infine | si ricava infine | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/ | $$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale | che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale | ||
fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore | fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore | ||
- | della mixing length consentono la determinazione di <tex>$v$</ | + | della mixing length consentono la determinazione di $v$ e |
- | <tex>$\nabla_{amb}$</ | + | $\nabla_{amb}$. Quest' |
del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e, | del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e, | ||
- | in quanto tale, viene sovente indicato come <tex>$\nabla_{conv}$</ | + | in quanto tale, viene sovente indicato come $\nabla_{conv}$ |
- | + | \\ | |
{{: | {{: | ||
\\ | \\ | ||
Linea 180: | Linea 133: | ||
formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le | formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le | ||
varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che | varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che | ||
- | finiscono col dipendere dal parametro | + | finiscono col dipendere dal parametro $l$ che, di fatto, viene a |
- | regolare l' | + | regolare l' |
viene riguardato come un parametro libero il cui valore va | viene riguardato come un parametro libero il cui valore va | ||
determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto | determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto | ||
Linea 191: | Linea 144: | ||
elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell' | elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell' | ||
convezione. | convezione. | ||
- | |||
Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere | Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere | ||
una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di | una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di | ||
- | pressione//, | + | pressione//, |
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ l = \alpha H_P$$ | $$ l = \alpha H_P$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | dove <tex>$H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$</ | + | dove $H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$ e $\alpha$ |
è scelto tra 0.5 e | è scelto tra 0.5 e | ||
2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di | 2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di | ||
Linea 213: | Linea 161: | ||
particolare ha in passato goduto di una certa popolarità, | particolare ha in passato goduto di una certa popolarità, | ||
perchè elimina le inversioni di pressione che talora si | perchè elimina le inversioni di pressione che talora si | ||
- | manifestano con l' | + | manifestano con l'uso $H_P$. |
Le Figure 2.9 e 2.10 riportano a titolo di esempio l' | Le Figure 2.9 e 2.10 riportano a titolo di esempio l' | ||
Linea 228: | Linea 176: | ||
luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi | luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi | ||
convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di | convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di | ||
- | <tex>$l$</ | + | $l$ finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. |
- | 2.11), Si può calibrare | + | 2.11), Si può calibrare $\alpha$ richiedendo, |
esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la | esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la | ||
- | temperatura efficace) osservato. Si ricava così <tex>$l\simeq 1.8$</ | + | temperatura efficace) osservato. Si ricava così $l\simeq 1.8$. |
Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere | Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere | ||
estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione | estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione | ||
chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi | chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi | ||
- | <tex>$\alpha$</ | + | $\alpha$. |
Notiamo infine come la teoria della [[wp> | Notiamo infine come la teoria della [[wp> | ||
Linea 243: | Linea 191: | ||
dall' | dall' | ||
frenamento che in tale zona si vengono a creare. | frenamento che in tale zona si vengono a creare. | ||
- | \\ | + | </WRAP> |
- | \\ | + | |
- | <fbl> | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
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~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ | ||
c02/teoria_mixing-lenght.1285682337.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)