c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Prossima revisione | Revisione precedente | ||
c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [05/01/2010 15:41] – creata - draft - marco | c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [24/05/2023 15:57] (versione attuale) – tolto codice Facebook marco | ||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella | ||
+ | meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia | ||
+ | indissolubilmente connesso col concetto di | ||
+ | [[wp> | ||
+ | principio fondamentale è che per ogni prefissato insieme di N | ||
+ | particelle contenute in un volume V e di assegnata energia totale E | ||
+ | //tutte le possibili configurazioni microscopiche compatibili con le | ||
+ | assegnate condizioni sono equiprobabili// | ||
+ | macrostato che finisce con il realizzarsi è quello cui | ||
+ | corrisponde la massima probabilità, | ||
+ | microstati. E' questo quello che noi chiamiamo // | ||
+ | L' | ||
+ | di valutare tutti i diversi possibili stati microscopici | ||
+ | corrispondenti ad una assegnata energia totale E delle particelle | ||
+ | del sistema. E' noto come su questa base si giunga alla nota | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | per la velocità delle | ||
+ | particelle a prefissata temperatura T. | ||
+ | |||
+ | La considerazione della natura quantistica delle particelle | ||
+ | introduce, salvando il principio, notevoli modifiche al calcolo | ||
+ | classico delle configurazioni microscopiche. Dal | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | indeterminazione di Heisenberg]] (secondo il quale $\Delta p_x \Delta x= h$) si | ||
+ | ricava che il numero di stati permessi per una particella | ||
+ | contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra | ||
+ | p e p+dp è dato da | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove g(p) rappresenta la //densità degli stati//. La | ||
+ | distribuzione delle particelle in tali possibili stati deve essere | ||
+ | valutata con l' | ||
+ | opera su particelle // | ||
+ | si devono considerare distinti due stati se due particelle si sono | ||
+ | solo scambiate di posto. Tale distribuzione dipende infine da | ||
+ | proprietà globali delle particelle che, in natura, appartengono | ||
+ | ad una delle due classi: | ||
+ | \\ | ||
+ | * [[wp.it> | ||
+ | * [[wp.it> | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 3.12** Il valore del parametro $\alpha$ al variare | ||
+ | di $\rho T^{-3/2}/ \mu_e$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 3.13** Mappatura nel piano $\rho / \mu_e$, T del | ||
+ | valore del parametro di degenerazione $\Phi$ = -$\alpha$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | Per le particelle a spin semiintero sussiste | ||
+ | condizione ([[wp.it> | ||
+ | quale uno stato non può essere occupato da più di una | ||
+ | particella, da cui discende che non più di due elettroni (con | ||
+ | spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè | ||
+ | $g(P)=8\pi p^2/h^3$. Se ne trae la | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | secondo la quale, detta $n(p)dp$ la densità di | ||
+ | elettroni tra p e p+dp, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove l' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P(E)=1/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni $n_e$ | ||
+ | e e della temperatura T, il valore di $\alpha$ resta determinato | ||
+ | della condizione | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\int n(p)dp=n_e $$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Poichè $\rho= n_e \mu_e H$, il valore di $\alpha$ resta fissato | ||
+ | per ogni coppia di valori $T, \rho/ | ||
+ | Si noti come in ogni caso $P(E)\leq 1$ come | ||
+ | vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di $n_e$ | ||
+ | decresce $\alpha$, che da valori grandi e positivi (gas classico) | ||
+ | raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas | ||
+ | classico P(E)<< | ||
+ | degenere $\alpha << 0$ e | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | P(E)=1 per $$E/ | ||
+ | \\ | ||
+ | P(E)=0 per $$E/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | cioè tutti gli stati sono occupati sino all' | ||
+ | $$ E = |\alpha kT|$$, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | che mostra come al crescere di n< | ||
+ | raggiunta dagli elettroni. Tale accadimento è subito compreso | ||
+ | osservando che in degenerazione completa tutti gli stati ad | ||
+ | energia minore sono occupati, e ove si spingano altri elettroni | ||
+ | nell' | ||
+ | alta energia. Si comprende anche come al crescere di n< | ||
+ | giunga infine a spingere gli elettroni ad energie relativistiche | ||
+ | anche a basse temperature. | ||
+ | |||
+ | Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica, | ||
+ | $E=p^2/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$n_e=\int n(p)dp = \frac | ||
+ | {8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha + | ||
+ | p^2/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | con la sostituzione $x=p^2/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$n_e= \frac | ||
+ | {4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/ | ||
+ | {e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
+ | F_{1/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $F_{1/ | ||
+ | prende il nome di //funzione " | ||
+ | ricavato per il caso del gas perfetto ($\rightarrow A2.1$), la | ||
+ | pressione elettronica discende dal momento trasportato, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac | ||
+ | {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | con analoga definizione della funzione di Fermi $F_{3/2}$. Per la | ||
+ | pressione del gas si può quindi porre | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Ricordando che $n_e=\rho/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $$\Phi(\alpha)=2/ | ||
+ | rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla | ||
+ | degenerazione elettronica. | ||
+ | Per ogni coppia di valori | ||
+ | $$\rho,T$$ è possibile ricavare il valore di $$\alpha$$ | ||
+ | $$\alpha$$ ottenere P dalle correnti tabulazioni di $F_{1/2}$ e | ||
+ | $F_{3/2}$ (Fig. 3.14). | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 3.14** Il rapporto 2/3 F$_{3/ | ||
+ | rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas | ||
+ | perfetto, in funzione del parametro $\alpha$. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di | ||
+ | degenerazione// | ||
+ | fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per | ||
+ | $$\Psi < -4$$ il gas di elettroni ha un comportamento classico, | ||
+ | $$-4 < \Psi < 4 $$ rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre | ||
+ | per $$\Psi > 4$$ nel gas domina la pressione di degenerazione. | ||
+ | |||
+ | Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica | ||
+ | modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato | ||
+ | nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione | ||
+ | ($\rightarrow A2.1$). Utilizzando | ||
+ | quella occasione, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | nella forma | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$TdS=C_P dT - E_P dP$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ricordando però che ora | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\rho=\rho(\Psi, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P=P_e(\Psi, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile | ||
+ | ottenere $d\Psi$ in funzione di P, T, $\rho$, $\Psi$, dP, dT, e | ||
+ | utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | si ottiene infine | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e $\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/ | ||
+ | la pressione totale. Al limite di non degenerazione | ||
+ | ($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$ tende a $1/\mu_i + 1/ | ||
+ | e le relazioni | ||
+ | precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nel caso di //completa degenerazione// | ||
+ | direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non | ||
+ | relativistico per la quantità di moto si ha $p=m_e v_e$, da cui | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e poiché | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ricordando che $n_e = \rho /\mu_e H$ si ricava infine | ||
+ | $$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/ | ||
+ | {\rho}{\mu_e})^{5/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nel caso relativistico | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dalla quale, con percorso analogo al caso precedente non | ||
+ | relativistico | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/ | ||
+ | \\ | ||
+ | </ | ||
+ | \\ | ||
+ | ---- | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~DISQUS~~ |