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c03:la_media_di_rosseland

A3.4 La media di Rosseland

L'equazione del gradiente radiativo è stata in precedenza ricavata sotto l'assunzione di un cammino libero medio comune per tutti i fotoni o, in altra parole, di una opacità indipendente dalla frequenza della radiazione caso grigio. Discutendo i meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale assunzione sia in generale lungi dall'essere verificata. Per ogni prefissata frequenza $\nu$ della radiazione potremo definire $\lambda (\nu)$ come il cammino libero medio dei fotoni con frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$, una corrispondente opacità $\kappa (\nu)= 1/\rho \lambda(\nu)$, restando valida per ogni frequenza la relazione

$$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$

dove $P(\nu)d\nu$ e $\Phi(\nu)d\nu$ rappresentano il contributo alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni con frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$. Indicando inoltre con $E(\nu)$ la densità di energia radiativa nello stesso intervallo di frequenza, si avrà

$$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$

e sarà possibile porre in relazione il flusso totale con la densità di energia tramite la relazione

$$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$

Per il noto teorema della media potremo definire <tex>$\overline \kappa$</tex> attraverso la relazione

$$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu = \frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu $$

dove $\overline \kappa$ prende il nome di media di Rosseland dell'opacità, ricavando infine

$$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$

e da $E=aT^4$ si ricava infine una relazione per il gradiente radiativo del tutto analoga a quanto ricavato nel caso grigio, ma con l'intervento di ${\overline \kappa}$ al posto di ${\kappa}$. Poiché in equilibrio termodinamico la $E(\nu)= B(\nu,T)$ per la media di Rosseland si avrà

$$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} \frac {dT}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)} {dT} \frac {dT}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}$$




c03/la_media_di_rosseland.txt · Ultima modifica: 08/11/2017 11:45 da marco