c03:la_media_di_rosseland
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisioneRevisione precedenteProssima revisione | Revisione precedente | ||
c03:la_media_di_rosseland [07/01/2010 16:32] – correzione refusi - marco | c03:la_media_di_rosseland [14/06/2021 14:04] (versione attuale) – modifica esterna 127.0.0.1 | ||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A3.4 La media di Rosseland ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | L' | ||
+ | ricavata sotto l' | ||
+ | tutti i fotoni o, in altra parole, di una opacità indipendente | ||
+ | dalla frequenza della radiazione //caso grigio//. Discutendo i | ||
+ | meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale | ||
+ | assunzione sia in generale lungi dall' | ||
+ | prefissata frequenza $\nu$ della radiazione potremo definire | ||
+ | $\lambda (\nu)$ come il cammino libero medio dei fotoni con | ||
+ | frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$, una corrispondente | ||
+ | opacità $\kappa (\nu)= 1/\rho \lambda(\nu)$, | ||
+ | ogni frequenza la relazione | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $P(\nu)d\nu$ e $\Phi(\nu)d\nu$ rappresentano il contributo | ||
+ | alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni | ||
+ | con frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$. Indicando inoltre | ||
+ | con $E(\nu)$ la densità di energia radiativa nello stesso | ||
+ | intervallo di frequenza, si avrà | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e sarà possibile porre in relazione il flusso totale con la | ||
+ | densità di energia tramite la relazione | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Per il noto teorema della media potremo definire < | ||
+ | attraverso la relazione | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu = | ||
+ | \frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $\overline \kappa$ prende il nome di //media di Rosseland// | ||
+ | dell' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e da $E=aT^4$ si ricava infine una relazione per il gradiente radiativo del tutto analoga a quanto | ||
+ | ricavato nel caso grigio, ma con l' | ||
+ | in equilibrio termodinamico la $E(\nu)= B(\nu,T)$ per la media di | ||
+ | Rosseland si avrà | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | ||
+ | \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | ---- | ||
+ | \\ | ||
+ | ~~DISQUS~~ |