L'equazione del gradiente radiativo è stata in precedenza ricavata sotto l'assunzione di un cammino libero medio comune per tutti i fotoni o, in altra parole, di una opacità indipendente dalla frequenza della radiazione caso grigio. Discutendo i meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale assunzione sia in generale lungi dall'essere verificata. Per ogni prefissata frequenza <tex>$\nu$</tex> della radiazione potremo definire <tex>$\lambda (\nu)$</tex> come il cammino libero medio dei fotoni con frequenza compresa tra <tex>$\nu$</tex> e <tex>$\nu + d\nu$</tex>, una corrispondente opacità <tex>$\kappa (\nu)= 1/\rho \lambda(\nu)$</tex>, restando valida per ogni frequenza la relazione

<tex> $$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$ </tex>

dove <tex>$P(\nu)d\nu$</tex> e <tex>$\Phi(\nu)d\nu$</tex> rappresentano il contributo alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni con frequenza compresa tra <tex>$\nu$</tex> e <tex>$\nu + d\nu$</tex>. Indicando inoltre con <tex>$E(\nu)$</tex> la densità di energia radiativa nello stesso intervallo di frequenza, si avrà

<tex> $$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$ </tex>

e sarà possibile porre in relazione il flusso totale con la densità di energia tramite la relazione

<tex> $$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$ </tex>

Per il noto teorema della media potremo definire <tex>$\overline \kappa$</tex> attraverso la relazione

<tex> $$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu = \frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu $$ </tex>

dove <tex>$\overline \kappa$</tex> prende il nome di media di Rosseland dell'opacità, ricavando infine

<tex> $$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$ </tex>

e da E=aT⁴ si ricava infine una relazione per il gradiente radiativo del tutto analoga a quanto ricavato nel caso grigio, ma con l'intervento di <tex>$${\overline \kappa}$$</tex> al posto di <tex>$${\kappa}$$</tex>. Poiché in equilibrio termodinamico la <tex>$E(\nu)= B(\nu,T)$</tex> per la media di Rosseland si avrà

<tex> $$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} \frac {dT}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)} {dT} \frac {dT}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}$$ </tex>