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c04:condizioni_generali_sulle_strutture_stellari

A4.3 Condizioni generali sulle strutture stellari

Sulla base delle varie relazioni teoriche che governano l'equilibrio delle strutture stellari è possibile ricavare interessanti predizioni sul comportamento generale di tali strutture.

Dall'equazione dell'equilibrio idrostatico nella forma dP/dM=GM/4$\pi$r$^4$, integrando lungo l'intera struttura con un unico passo si ottiene as esempio

$$P \ \propto \ \frac {M^2}{R^4} \ \ \ {\rm e \ poich\grave{e}} \ \ P \propto \rho T \propto \frac {M}{R^3} T$$

si ha infine

$$T \ \ \propto \ \ \frac {M}{R}$$

Alla stessa relazione si giunge dal teorema del viriale. Da 2W + $\Omega$ = 0 si ha infatti $W \propto -\Omega$, dove ad evitare confusioni con la temperatura T abbiamo ora indicato con W l'energia cinetica totale del sistema. Per la temperatura si ha T $\propto$ W/M e, dal viriale, anche $\propto \Omega$/M. Poichè $\Omega \propto$ M$^2$/R si ha infine ancora T $\propto$ M/R.

Utilizzando tale relazione possiamo anche ricavare indicazioni sulla relazione massa-luminosità per strutture supposte almeno in larga parte in equilibrio radiativo. In tal caso si ha infatti

$$ \frac {dT}{dM}\ \ = \ \ - \frac {3 \overline \kappa}{4ac} \frac {L }{16 \pi^2 r^4 T^3} \ \ \ \ {\rm da \ \ cui} \ \ \ \ \frac {T^4}{M} \propto \frac {L}{R^4}$$

Da T $\propto$ M/R si ricava infine $$L\ \ \propto \ \ M^3$$

che mostra come la luminosità debba crescere con una potenza superiore della massa. Si noti come nella derivazione non si siano fatte ipotesi sulla generazione di energia, a ulteriore dimostrazione che la luminosità di una struttura è governata dalla massa attraverso l'equilibrio idrostatico. Introducendo l'ipotesi che la luminosità sia il prodotto di un meccanismo di combustione nucleare, poichè l'efficienza delle combustioni cresce con la temperatura, la relazione precedente ci garantisce anche che la temperatura centrale deve crescere con la massa.

Dalla equazione della conservazione di energia si ha inoltre

$$ \frac {dL}{dR} \ = 4 \pi r^2 \rho \varepsilon \ \ \ {\rm da \ \ cui} \ \ \ \ \frac {L}{R^3} \propto \rho \varepsilon $$

e utilizzando ancora T $\propto$ M/R, unita alla L $\propto$ M$^3$ si ha

$$\frac {L T^3}{M^3} \propto T^3 \propto \rho \varepsilon $$.

che mostra come il rapporto tra temperatura e densità dipenda dal coefficiente di generazione di energia. Per quest'ultimo si avrà una dipendenza da temperatura e densità del tipo

$$ \varepsilon \ \propto \ \rho^m\ \ T^n$$

risultando m=1, n=4 per la combustione dell'idrogeno, catena pp, m=1, n=14 per il ciclo CNO, e m=2, n=22 per la combustione dell'elio.

Per strutture sorrette dalla catena pp si avrà cos\ì, ad esempio

$$ T \rho^2 \sim cost$$

e simile per il CNO, che mostra come se all'aumentare della massa deve crescere la temperatura, come abbiamo già trovato, nel contempo deve diminuire anche la densità centrale. Diminuendo le masse si avranno dunque minori temperature e maggiori densità, predisponendo tali masse all'insorgere della degenerazione elettronica, come già indicato.


c04/condizioni_generali_sulle_strutture_stellari.txt · Ultima modifica: 03/11/2017 09:55 da marco