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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== A4.3 Condizioni generali sulle strutture stellari ======
+<WRAP justify>
+Sulla base delle varie relazioni teoriche che  governano
+l'equilibrio delle strutture stellari è possibile ricavare
+interessanti predizioni sul comportamento generale di tali
+strutture.
+Dall'equazione dell'[[wp.it>equilibrio idrostatico]] nella forma
+dP/dM=GM/4$\pi$r$^4$, integrando lungo l'intera struttura con un
+unico passo si ottiene as esempio
+\\
+\\
+$$P  \ \propto \ \frac {M^2}{R^4} \ \ \ {\rm e  \ poich\grave{e}} \ \ P \propto
+\rho T \propto \frac {M}{R^3} T$$
+\\
+\\
+si ha infine
+\\
+\\
+$$T \ \ \propto \ \ \frac {M}{R}$$
+\\
+\\
+Alla stessa relazione si giunge dal [[wp.it>Teorema_del_viriale|teorema del viriale]]. Da
+W + $\Omega$ = 0 si ha infatti $W \propto -\Omega$, dove ad evitare
+confusioni con la temperatura T abbiamo ora indicato con W
+l'energia cinetica totale del sistema. Per la temperatura si ha
+T $\propto$ W/M e, dal viriale, anche $\propto \Omega$/M. Poichè
+$\Omega \propto$ M$^2$/R si ha infine ancora T $\propto$ M/R.
+Utilizzando tale relazione possiamo anche ricavare indicazioni
+sulla relazione massa-luminosità per strutture supposte almeno
+in larga parte in equilibrio radiativo. In tal caso si ha infatti
+\\
+\\
+$$ \frac {dT}{dM}\ \ = \ \ - \frac {3 \overline \kappa}{4ac} \frac {L }{16 \pi^2 r^4 T^3}
+\ \ \ \ {\rm da \ \ cui} \ \ \ \ \frac {T^4}{M} \propto \frac {L}{R^4}$$
+\\
+\\
+Da T $\propto$ M/R si ricava infine
+$$L\ \ \propto \ \ M^3$$
+che mostra come la luminosità debba crescere con una potenza
+superiore della massa. Si noti come nella derivazione non si siano
+fatte ipotesi sulla generazione di energia, a ulteriore
+dimostrazione che la luminosità di una struttura è governata
+dalla massa attraverso l'equilibrio idrostatico. Introducendo
+l'ipotesi che la luminosità sia il prodotto di un meccanismo di
+combustione nucleare, poichè l'efficienza delle combustioni
+cresce con la temperatura, la relazione precedente ci garantisce
+anche che la temperatura centrale deve crescere con la massa.
+\\
+\\
+Dalla equazione della conservazione di energia si ha inoltre
+\\
+\\
+$$ \frac {dL}{dR} \ = 4 \pi r^2 \rho \varepsilon  \ \ \ {\rm da \ \ cui}
+\ \ \ \ \frac {L}{R^3} \propto \rho \varepsilon $$
+\\
+\\
+e utilizzando ancora T $\propto$ M/R, unita alla
+L $\propto$ M$^3$ si ha
+\\
+\\
+$$\frac {L T^3}{M^3} \propto T^3 \propto \rho \varepsilon $$.
+\\
+\\
+che mostra come il rapporto tra temperatura e
+densità dipenda dal coefficiente di generazione di energia. Per
+quest'ultimo si avrà una dipendenza da temperatura e densità
+del tipo
+\\
+\\
+$$ \varepsilon \ \propto \ \rho^m\ \ T^n$$
+\\
+\\
+risultando m=1, n=4 per la combustione dell'idrogeno, catena pp,
+m=1, n=14 per il ciclo CNO, e m=2, n=22 per la combustione
+dell'elio.
+Per strutture sorrette dalla catena pp si avrà cos\ì, ad
+esempio
+\\
+\\
+$$ T \rho^2 \sim cost$$
+\\
+\\
+e simile per il CNO, che mostra come se all'aumentare della massa
+deve crescere la temperatura, come abbiamo già trovato, nel
+contempo deve diminuire anche la densità centrale. Diminuendo le
+masse si avranno dunque minori temperature e maggiori densità,
+predisponendo tali masse all'insorgere della degenerazione
+elettronica, come già indicato.
+\\
+<fbl>
+\\
+----
+~~DISQUS~~