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+====== 4.4 Elementi primari ed elementi secondari ======
+<WRAP justify>
+Chi avesse dimestichezza con  le famiglie di elementi radioattivi
+naturali riconoscerebbe nella catena pp tutta una serie di
+elementi //"secondari"//, i cui nuclei sono contemporaneamente
+prodotti e distrutti nella sequenza di reazioni. In tale
+condizione le abbondanze di questi elementi tendono verso
+condizioni di equilibrio, ed i nuclei non intervengono più nel
+determinare la velocità delle reazioni se non in maniera
+indiretta. Illustreremo tale caratteristica nel caso del deuterio.
+Per il [[wp.it>deuterio]] si ha infatti  una reazione di produzione
+$(p+p\rightarrow)$ ed una di distruzione $(D+p\rightarrow)$.
+Poichè per ogni reazione viene creato o distrutto un nucleo di
+deuterio, il numero di nuclei creati o distrutti nell'unità di
+volume e nell'unità di tempo sarà dato dalle relazioni
+\\
+\\
+$$ Processi \ di \ creazione \rightarrow
+\frac{dN_2}{dt}=n_{1,2}=\frac{N_1^2}{2}<\sigma_{11}v>$$
+\\
+\\
+$$ Processi \ di \ distruzione \rightarrow \frac{dN_2}{dt}= -n_{12}=
+-N_1N_2<\sigma_{12}v>$$
+\\
+\\
+dove 1 e 2 fanno  riferimento rispettivamente a [[wp.it>protoni]] e [[wp.it>deutoni]].
+Ne segue che che il numero di deutoni nell'unità di volume
+varia col tempo secondo la relazione
+\\
+\\
+$$\frac{dN_2}{dt}=n_{11}-n_{12}$$
+\\
+\\
+Qualunque sia  l'abbondanza iniziale del deuterio (ma in
+realtà ce ne attendiamo molto poco) si ricava che l'abbondanza
+di tale elemento deve evolvere verso la condizione di equilibrio
+\\
+\\
+$$n_{11}=n_{12}$$
+\\
+\\
+da cui si trae per le abbondanze di equilibrio
+\\
+\\
+$$(\frac{N_2}{N_1})_{eq}=\frac{1}{2} \frac{<\sigma_{11}v>}{<\sigma_{12}v>}$$
+\\
+\\
+E' subito visto  infatti che se $N_2>N_1$ allora
+$\sigma_{12}>\sigma_{11}$, e viceversa, così che le
+abbondanze evolvono necessariamente verso l'equilibrio. Ricordando
+che le abbondanze in numero sono legate a quelle in massa dalla
+relazione $X_i=N_iA_iH/\rho$ per le abbondanze in massa di
+equilibrio potremo scrivere
+$(X_2/X_1)_{eq}=<\sigma_{11}v>/<\sigma_{12}v>$
+\\
+\\
+Si può ottenere  una scala dei tempi per il raggiungimento
+dell'equilibrio osservando che, per esempio, se $N_2\gg
+(N_2)_{eq}$ prevale la reazione di distruzione, per la quale
+\\
+\\
+$$\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}=\frac{d}{dt}lnN_2=-N_1<\sigma_{12}v>$$
+\\
+\\
+da cui $N_2=N_2^0 e^{-t/\tau}$ con $\tau=1/(N_1<\sigma_{11}v>)$.
+Per una miscela ricca di idrogeno e per temperature in cui la
+fusione pp è efficiente si trova così $(X_2)_{eq}\le
+^{-18}, \tau \le 1$ secondo. Le condizioni di equilibrio sono
+cioè raggiunte in tempi rapidissimi e senza una apprezzabile
+variazione della composizione chimica della materia (Figura 4.3).
+\\
+\\
+{{:c04:figura04_03.jpg?400}}
+\\
+**Fig. 4.3 ** Il rapporto di equilibrio D/H al variare
+della temperatura T in milioni di gradi.
+\\
+\\
+All'equilibrio ogni reazione p+p è necessariamente seguita da
+una reazione D+p, talchè si può direttamente assumere che
+ogni reazione p+p abbia per risultato la scomparsa di tre protoni
+e la sintesi di un nucleo di $^3He$, la velocità di produzione
+restando regolata solo dal valore di $n_{11}$. In questo senso il
+deuterio è elemento secondario, come lo sono anche $^7Be$,
+$^7Li$, $^8Be$, $^8B$ la cui dettagliata valutazione risulta
+inessenziale sia ai fini della evoluzione chimica che a quelli
+della produzione di energia della catena pp, fermo restando che
+alle restanti reazioni //primarie// occorrerà associare i
+prodotti in particelle ed i contributi energetici provenienti
+dalle reazioni secondarie che le seguono.
+\\
+\\
+{{:c04:figura_04_04.jpg?600}}
+\\
+**Fig. 4.4 ** La concentrazione all'equilibrio di <tex>$^3$He</tex>
+(a sinistra) e il tempo (in anni) per raggiungere l'equilibrio
+stesso (a destra) in funzione della temperatura in milioni di
+gradi.
+\\
+\\
+Così gli effetti delle  due prime reazioni della catena
+\\
+\\
+$p+p\rightarrow D+e^++\nu \ (+Q_{11})$
+\\
+\\
+$D+p\rightarrow ^3He+\gamma \ (+Q_{12})$
+\\
+\\
+ove con $Q_{ii}$ indichiamo  l'energia rilasciata nella
+singola reazione eventualmente decurtata della enrgia sotto forma
+di neutrini,restano compiutamente descritti dalle relazioni
+\\
+\\
+$$\frac{dN_1}{dt}=-3 n_{11} \ \frac{dN_3}{dt}= n_{11}$$
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+\\
+$$\frac{dQ}{dt}= n_{11}(Q_{11}+Q_{12})$$
+\\
+\\
+ove le prime due regolano,  con ovvio significato dei simboli,  la
+variazione col tempo del numero di particelle per unità di
+volume e la terza fornisce  l'energia prodotta per unità di
+tempo sempre nell'unità di volume. Da quest'ultima si ricava
+immediatamente la produzione di energia per grammo e per secondo
+della //ppI//:
+\\
+\\
+$$\varepsilon =\frac{1}{\rho}\frac{dQ}{dt}$$
+\\
+\\
+Resta da notare che alcuni elementi, come nel nostro
+caso l'$^3He$, possono comportarsi da primari o secondari a
+seconda della temperatura che regola il valore della sezione
+d'urto di distruzione. A basse temperature la sezione d'urto
+$^3He+^3He$ è molto piccola e la composizione d'equilibrio
+-sempre esistente- è corrispondentemente non solo molto alta
+ma anche raggiunta in tempi lunghi. L'evoluzione dell'abbondanza
+di $^3He$ deve quindi essere seguita in dettaglio e l'$^3He$ si
+comporta come elemento //pseudoprimario//. Al crescere della
+temperatura aumenta la sezione d'urto di distruzione e l'$^3He$
+diviene a tutto rigore un secondario (Fig. 4.4).
+</WRAP>
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+----
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+~~DISQUS~~