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c04:il_teorema_del_viriale

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c04:il_teorema_del_viriale [03/11/2017 09:52]
marco sistemazione TeX
Linea 1: Linea 1:
 +====== A4.2. Il teorema del viriale ======
  
 +<WRAP justify>
 +Si abbia un gas autogravitante,​ composto cioè da un insieme di N
 +particelle di massa m<​sub>​i</​sub>,​ mutamente interagenti attraverso il
 +loro campo gravitazionale. Per esso si definisce il [[wp.it>​momento di inerzia]]
 +\\
 +\\
 +$I = \sum_i m_1(x_i^2+y_i^2+z_i^2) ​  \ \  i=1,N$
 +\\
 +\\
 +con ovvio significato dei simboli.
 +Operandone la derivata seconda rispetto al tempo ne risulta
 +\\
 +\\
 +$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= \sum_i m_i \frac {d}{dt} (x_i
 +v_{xi}+ y_i v_{yi}+ z_i v_{zi} ) = \sum_i m_i v_{xi}^2 + ... +m_1
 +x_i a_{xi} + .......$$
 +\\
 +\\
 +dove per brevità sono stati omessi gli
 +analoghi contributi delle componenti y e z.
 +
 +
 +E' subito visto che la somma
 +\\
 +\\
 +$$\sum_i m_i v_{xi}^2 + m_i v_{yi}^2 + m_i v_{zi}^2 = \sum_i m_i
 +v_i^2 = 2T$$
 +\\
 +\\ 
 +avendo indicato con T l'​energia cinetica totale del
 +sistema, somma delle energie cinetiche delle singole particelle.
 +
 +Notiamo ora che m$_i$a$_{xi}$ per la 
 +[[wp.it>​Principi_della_dinamica#​Secondo_principio_detto_di_proporzionalit.C3.A0_o_di_Newton_o_di_conservazione|legge di Newton]] ​
 +($\overline F
 += m \overline a$) è la componente x della forza agente sulla
 +i-ma particella. Potremo dunque scrivere
 +\\
 +\\
 +$$ x_i \ m_i a_{xi}= x_i F_{xi} = x_i G \sum_{j \not= i} \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}}$$
 +\\
 +\\
 +Eseguendo le somme, ad ogni termine del tipo
 +\\
 +\\
 +$$ x_i G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ 
 +\frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x  \ della \ forza \
 +operata ​ \ dalla \ particella \ j \ su \ quella \ i)}$$
 +\\
 +\\
 +corrisponde un termine
 +\\
 +\\
 +$$ x_j G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \
 +\frac {x_i - x_j}{r_{ij}} \ \ \  {\rm (componente \ x  \ della \ forza \
 +operata \ dalla \ particella \ i \ su \ quella \ j)}$$
 +\\
 +\\
 +la cui somma fornisce
 +\\
 +\\
 +$$ (x_i-x_j) G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \
 +\frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ = -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac
 +{(x_j - x_i)^2}{r_{ij}}$$
 +\\
 +\\
 +Sommando le corrispondenti componenti y e z si ha
 +\\
 +\\
 +$$  -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac
 +{(x_j - x_i)^2+ (y_j - y_i)^2 + (z_j - z_i)^2 }{r_{ij}}= ​ -G \frac
 +{m_i m_j}{r_{ij}}$$
 +\\
 +\\
 +e sommando su tutte le particelle
 +\\
 +\\
 +$$- \sum_{ij} G \frac
 +{m_i m_j}{r_{ij}} \ = \ \Omega = {\rm energia \ di  \ legame \
 +gravitazionale}$$
 +\\
 +\\
 +Riassumendo,​ si conclude che
 +\\
 +\\
 +$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= 2T + \Omega$$
 +\\
 +\\
 +come si voleva dimostrare.
 +\\
 +\\
 +<fbl>
 +</​WRAP>​
 +----
 +~~DISQUS~~
c04/il_teorema_del_viriale.txt · Ultima modifica: 03/11/2017 09:52 da marco