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+====== 5.1. Modelli di presequenza. Politropi ======
+<WRAP justify>
+Fine ultimo delle considerazioni fisico-matematiche  che siamo
+andati presentando nei capitoli precedenti  quello di porci in
+grado di procedere a valutazioni quantitative delle variazioni
+strutturali, e con esse dei parametri osservativi, che ci
+attendiamo debbano caratterizzare l'arco di esistenza di una
+struttura stellare. Per entrare nel dettaglio dei risultati
+evolutivi restano da illustrare brevemente le tecniche di calcolo
+che consentono di valutare una sequenza evolutiva di modelli
+stellari al fine di predire le variazioni temporali di ogni
+predeterminata struttura.
+Possiamo ricapitolare quanto sinora esposto, concludendo che il
+sistema di equazioni dell'equilibrio, integrato con le relative
+valutazioni fisiche, consente di determinare l'andamento delle
+variabili fisiche lungo tutta una struttura stellare // una
+volta che si conosca in ogni punto la composizione chimica degli
+strati stellari e qualora si possa trascurare il contributo
+dell'energia gravitazionale//. La prima condizione è
+esplicitamente inserita nelle equazioni dell'equilibrio, mentre la
+seconda discende dall'evidenza che il coefficiente di energia
+gravitazionale $\varepsilon_g$ richiede la valutazione punto per
+punto delle derivate rispetto al tempo di pressione e temperatura,
+valutabili solo conoscendo l'evoluzione temporale del modello.
+La composizione chimica all'interno di una struttura stellare è
+peraltro figlia della storia nucleare della struttura medesima, e
+non è pertanto valutabile a priori. Le uniche strutture che
+saranno accessibili ad un calcolo diretto saranno quindi e solo
+quelle di recentissima formazione, nella prima fase di contrazione
+gravitazionale e prima che l'innesco delle reazioni nucleari inizi
+a modificare la composizione chimica. Ricordiamo ora che nel
+processo di formazione una struttura raggiunge una configurazione
+di equilibrio quando l'aumento della temperatura, stimolando la
+ionizzazione, aumenta l'opacità della materia intrappolando la
+radiazione. A seguito dell' alta opacità ci attendiamo  che tali
+strutture primitive siano totalmente convettive e da tale
+accadimento discende la possibilità di calcolarne la struttura.
+Per ciò che riguarda la prima condizione notiamo infatti che
+strutture completamente convettive sono completamente e
+continuamente rimescolate. Si ha dunque l'assenza di
+selettive sedimentazioni gravitazionali dei diversi
+elementi. Potremo dunque assumere strutture chimicamente omogenee
+con composizione chimica pari a quella assunta per la nube
+originaria.
+Un modello convettivo risulta peraltro anche indipendente da
+$\varepsilon_g$. Per comprenderne le ragioni assumiamo
+inizialmente, come prima approssimazione, che lungo l'intera
+struttura il gradiente sia pari al gradiente adiabatico  di un gas
+perfetto monoatomico $\nabla_{ad}$ = (dlogT/dlogP)$_{ad}$ =0.4. In
+tal caso
+\\
+\\
+$${\rm da } \ \ dlogT \ = \ 0.4 * dlogP \ \ {\rm si  \ ricava} \ \ T \ =
+\ C_1 \ P^{0.4}$$
+\\
+\\
+sostituendo nell'equazione di stato
+\\
+\\
+$$P=\frac {k}{\mu H}\rho T \rightarrow P= C_1 \frac {k}{\mu H}\rho
+P^{0.4} \ \ {\rm da \ cui} \ P=C_2 \rho^\gamma \ \ {\rm con \ \
+\gamma = 5/3 }$$
+\\
+\\
+E' questo un caso particolare di una regola generale: non appena
+si aggiunga all'equazione di stato un'ulteriore relazione che
+colleghi tra loro le variabili termodinamiche (nel nostro caso la
+relazione del gradiente adiabatico) il sistema termodinamico perde
+un grado di libertà e ognuna delle variabili di stato (P, T,
+$\rho$) può essere espressa in funzione di solo un'altra
+variabile. Varrà sempre, in particolare, una relazione del tipo
+\\
+\\
+$$P \ = \ K \ \rho^\gamma$$
+\\
+\\
+con $\gamma$ dipendente dalla assunta relazione tra le variabili.
+Tutte le volte che l'equazione di stato è esprimibile nella
+forma precedente prende il nome di //"equazione di stato
+politropica"//. Si noti che se la relazione riguarda un gradiente
+(come nel caso adiabatico) l'equazione di stato politropica
+contiene necessariamente una costante arbitraria (condizione al
+contorno). Fissando le derivate si fissa infatti l'andamento delle
+variabili ma non il loro punto zero. Questo resta fissato non
+appena si fissi il rapporto P/$\rho$ (e quindi la temperatura) in
+un qualsiasi punto.
+Per ciò che riguarda il modello stellare omogeneo e totalmente
+convettivo, se per esso riscriviamo le equazioni dell'equilibrio
+si trova che nel caso di strutture politropiche
+\\
+\\
+$\frac {dP(r)}{dr} = - G \frac {M_r(r) \rho (r)}{r^2} dr$
+\\
+\\
+$dM_r = 4 \pi r^2 \rho dr$
+\\
+\\
+$P \ = K \ \rho^\gamma$
+\\
+\\
+che formano un sistema di tre equazioni nelle tre variabili
+incognite P,$\rho$, M<sub>r</sub>, la cui risoluzione richiederà ora la
+presenza di tre opportune condizioni al contorno. Quel che qui ci
+interessa, è che la struttura prescinde da ogni valutazione
+sulla generazione di energia, consentendo quindi l'integrazione
+del modello stellare. Per tale integrazione si userà un metodo
+del fitting, mancando delle soluzioni di prova richieste dal
+metodo di Henyey. In genere, per ogni prefissato valore della
+massa e della composizione chimica,  si usa determinare le tre
+condizioni al contorno P$_c$ (pressione centrale), T$_e$
+(temperatura efficace) e L (luminosità) per un prefissato valore
+della temperatura centrale T$_c$, assunta a valori
+sufficientemente bassi per escludere il passato intervento di
+reazioni nucleari.
+Si noti come alla costante arbitraria nell'equazione di stato
+politropico-adiabatica corrispondono infinite soluzioni del
+modello, descritte dal calcolo al variare delle assunzioni su
+T$_c$. Questo ci dice che finchè la struttura resta totalmente
+convettiva dovrà necessariamente seguire il tracciato decritto
+dai modelli politropici al progressivo innalzarsi di T$_c$.
+La stessa procedura può essere applicata nel caso generale, ove
+si lasci cadere l'assunzione $\nabla_{ad}$ = 0.4 (ionizzazione
+completa) in tutta la struttura e si voglia valutare il gradiente
+superadiabatico nelle zone esterne. La presenza della relazione di
+gradiente adiabatico  o convettivo  abbassa sempre di un grado di
+libertà il sistema, e anche se il gradiente convettivo dipende
+da L, per esso nelle zone esterne resta lecito assumere L=cost,
+prescindendo dalla valutazione di $\varepsilon_g$.
+</WRAP>
+\\
+----
+\\
+~~DISQUS~~