c05:modelli_di_presequenza._politropi
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== 5.1. Modelli di presequenza. Politropi ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | Fine ultimo delle considerazioni fisico-matematiche | ||
+ | andati presentando nei capitoli precedenti | ||
+ | grado di procedere a valutazioni quantitative delle variazioni | ||
+ | strutturali, | ||
+ | attendiamo debbano caratterizzare l'arco di esistenza di una | ||
+ | struttura stellare. Per entrare nel dettaglio dei risultati | ||
+ | evolutivi restano da illustrare brevemente le tecniche di calcolo | ||
+ | che consentono di valutare una sequenza evolutiva di modelli | ||
+ | stellari al fine di predire le variazioni temporali di ogni | ||
+ | predeterminata struttura. | ||
+ | |||
+ | Possiamo ricapitolare quanto sinora esposto, concludendo che il | ||
+ | sistema di equazioni dell' | ||
+ | valutazioni fisiche, consente di determinare l' | ||
+ | variabili fisiche lungo tutta una struttura stellare // una | ||
+ | volta che si conosca in ogni punto la composizione chimica degli | ||
+ | strati stellari e qualora si possa trascurare il contributo | ||
+ | dell' | ||
+ | esplicitamente inserita nelle equazioni dell' | ||
+ | seconda discende dall' | ||
+ | gravitazionale $\varepsilon_g$ richiede la valutazione punto per | ||
+ | punto delle derivate rispetto al tempo di pressione e temperatura, | ||
+ | valutabili solo conoscendo l' | ||
+ | |||
+ | La composizione chimica all' | ||
+ | peraltro figlia della storia nucleare della struttura medesima, e | ||
+ | non è pertanto valutabile a priori. Le uniche strutture che | ||
+ | saranno accessibili ad un calcolo diretto saranno quindi e solo | ||
+ | quelle di recentissima formazione, nella prima fase di contrazione | ||
+ | gravitazionale e prima che l' | ||
+ | a modificare la composizione chimica. Ricordiamo ora che nel | ||
+ | processo di formazione una struttura raggiunge una configurazione | ||
+ | di equilibrio quando l' | ||
+ | ionizzazione, | ||
+ | radiazione. A seguito dell' alta opacità ci attendiamo | ||
+ | strutture primitive siano totalmente convettive e da tale | ||
+ | accadimento discende la possibilità di calcolarne la struttura. | ||
+ | |||
+ | Per ciò che riguarda la prima condizione notiamo infatti che | ||
+ | strutture completamente convettive sono completamente e | ||
+ | continuamente rimescolate. Si ha dunque l' | ||
+ | selettive sedimentazioni gravitazionali dei diversi | ||
+ | elementi. Potremo dunque assumere strutture chimicamente omogenee | ||
+ | con composizione chimica pari a quella assunta per la nube | ||
+ | originaria. | ||
+ | |||
+ | Un modello convettivo risulta peraltro anche indipendente da | ||
+ | $\varepsilon_g$. Per comprenderne le ragioni assumiamo | ||
+ | inizialmente, | ||
+ | struttura il gradiente sia pari al gradiente adiabatico | ||
+ | perfetto monoatomico $\nabla_{ad}$ = (dlogT/ | ||
+ | tal caso | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $${\rm da } \ \ dlogT \ = \ 0.4 * dlogP \ \ {\rm si \ ricava} \ \ T \ = | ||
+ | \ C_1 \ P^{0.4}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | sostituendo nell' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P=\frac {k}{\mu H}\rho T \rightarrow P= C_1 \frac {k}{\mu H}\rho | ||
+ | P^{0.4} \ \ {\rm da \ cui} \ P=C_2 \rho^\gamma \ \ {\rm con \ \ | ||
+ | \gamma = 5/3 }$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | E' questo un caso particolare di una regola generale: non appena | ||
+ | si aggiunga all' | ||
+ | colleghi tra loro le variabili termodinamiche (nel nostro caso la | ||
+ | relazione del gradiente adiabatico) il sistema termodinamico perde | ||
+ | un grado di libertà e ognuna delle variabili di stato (P, T, | ||
+ | $\rho$) può essere espressa in funzione di solo un' | ||
+ | variabile. Varrà sempre, in particolare, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P \ = \ K \ \rho^\gamma$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | con $\gamma$ dipendente dalla assunta relazione tra le variabili. | ||
+ | Tutte le volte che l' | ||
+ | forma precedente prende il nome di //" | ||
+ | politropica"// | ||
+ | (come nel caso adiabatico) l' | ||
+ | contiene necessariamente una costante arbitraria (condizione al | ||
+ | contorno). Fissando le derivate si fissa infatti l' | ||
+ | variabili ma non il loro punto zero. Questo resta fissato non | ||
+ | appena si fissi il rapporto P/$\rho$ (e quindi la temperatura) in | ||
+ | un qualsiasi punto. | ||
+ | |||
+ | Per ciò che riguarda il modello stellare omogeneo e totalmente | ||
+ | convettivo, se per esso riscriviamo le equazioni dell' | ||
+ | si trova che nel caso di strutture politropiche | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $\frac {dP(r)}{dr} = - G \frac {M_r(r) \rho (r)}{r^2} dr$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $dM_r = 4 \pi r^2 \rho dr$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $P \ = K \ \rho^\gamma$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | che formano un sistema di tre equazioni nelle tre variabili | ||
+ | incognite P,$\rho$, M< | ||
+ | presenza di tre opportune condizioni al contorno. Quel che qui ci | ||
+ | interessa, è che la struttura prescinde da ogni valutazione | ||
+ | sulla generazione di energia, consentendo quindi l' | ||
+ | del modello stellare. Per tale integrazione si userà un metodo | ||
+ | del fitting, mancando delle soluzioni di prova richieste dal | ||
+ | metodo di Henyey. In genere, per ogni prefissato valore della | ||
+ | massa e della composizione chimica, | ||
+ | condizioni al contorno P$_c$ (pressione centrale), T$_e$ | ||
+ | (temperatura efficace) e L (luminosità) per un prefissato valore | ||
+ | della temperatura centrale T$_c$, assunta a valori | ||
+ | sufficientemente bassi per escludere il passato intervento di | ||
+ | reazioni nucleari. | ||
+ | |||
+ | Si noti come alla costante arbitraria nell' | ||
+ | politropico-adiabatica corrispondono infinite soluzioni del | ||
+ | modello, descritte dal calcolo al variare delle assunzioni su | ||
+ | T$_c$. Questo ci dice che finchè la struttura resta totalmente | ||
+ | convettiva dovrà necessariamente seguire il tracciato decritto | ||
+ | dai modelli politropici al progressivo innalzarsi di T$_c$. | ||
+ | |||
+ | La stessa procedura può essere applicata nel caso generale, ove | ||
+ | si lasci cadere l' | ||
+ | completa) in tutta la struttura e si voglia valutare il gradiente | ||
+ | superadiabatico nelle zone esterne. La presenza della relazione di | ||
+ | gradiente adiabatico | ||
+ | libertà il sistema, e anche se il gradiente convettivo dipende | ||
+ | da L, per esso nelle zone esterne resta lecito assumere L=cost, | ||
+ | prescindendo dalla valutazione di $\varepsilon_g$. | ||
+ | </ | ||
+ | \\ | ||
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+ | \\ | ||
+ | ~~DISQUS~~ |