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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== A6.5 Isocrone teoriche e funzioni di luminosità per Ammassi Globulari ======
+<WRAP justify>
+La collocazione nel diagramma HR delle stelle di un ammasso
+stellare deve essere considerata come il luogo, ad un prefissato
+tempo t<sub>0</sub> ([[wp.it>isocrona]]), dei punti rappresentativi di stelle
+in moto lungo traiettorie prefissate (le [[wp.it>Traccia_Evolutiva|tracce evolutive]])
+determinate, per ogni assunta composizione chimica, dall'unico
+parametro M = massa delle stelle. Si è qui assunto
+implicitamente che le fluttuazioni nei tempi della formazione
+stellare siano trascurabili rispetto ai tempi evolutivi. Lungo un
+isocrona è dunque L = L(M,t) Te=Te(M,t) al variare del parametro
+M. Con terminologia mutuata dall'idrodinamica diremo in definitiva
+che le tracce evolutive delle strutture costituiscono le
+//linee di corrente// del fluido stellare, mentre l'isocrona
+rappresenta la //linea materiale// del fluido all'istante
+t=t<sub>0</sub>.
+\\
+\\
+{{:c06:figura_06_10.jpg?500}}
+\\
+**Fig. 6.24** La relazione //massa-luminosità// lungo
+isocrone teoriche per età comprese tra 9 e 21 miliardi di
+anni.
+\\
+\\
+Si è già indicato come nelle fasi evolutive avanzate aumenti
+la velocità evolutiva, definibile attraverso il valore delle
+derivate $(\partial L/\partial t)_M$ e
+$(\partial T_e/\partial dt)_M$
+che regolano la variazione con il tempo della posizione di
+una struttura nel diagramma HR. Si è anche intuitivamente
+indicato come in tali condizioni sia lecito confondere l'isocrona
+con la traccia evolutiva comune al ridotto intervallo di tracce
+evolventi.
+Possiamo precisare le motivazioni e i limiti di una tale
+approssimazione definendo lungo una generica isocrona la //variabile
+curvilinea S//, cosi che S(M,t) risulti univocamente determinata e
+implicitamente resolubile rispetto a qualsivoglia delle
+variabili M,t. Dalla definizione di isocrona si ha allora:
+\\
+\\
+$$ dt(M,S) = (\frac{\partial t}{\partial M})_S  dM+ (\frac{\partial t}{\partial
+S})_M  dS$$
+\\
+\\
+da cui si ottiene per la variazione delle masse lungo l'isocrona
+\\
+\\
+$$(\frac {\partial M}{\partial S})_t= - ( \frac {\partial M}{\partial t})_S (\frac {\partial t}{\partial S})_M $$
+\\
+\\
+Si verifica cosi innanzitutto che per
+\\
+\\
+$$(\frac {\partial S}{\partial t})_M \rightarrow \infty  \ \ \ (\frac {\partial M}{\partial S})_t \rightarrow
+$$
+\\
+\\
+cioè che al crescere della velocità evolutiva
+$(\partial S/ \partial t)_M$ tende a zero la variazione di massa lungo l'isocrona.
+L'osservazione fornisce non solo la collocazione nel diagramma HR
+della linea isocrona, ma anche il numero di stelle dN che popolano
+l'intervallo di ascissa curvilinea dS. Il dato
+osservativo $\Phi$=dN/dS è correlabile alle proprietà evolutive, risultando
+\\
+\\
+$$\Phi(S,t_0) = \Psi(M) (\frac{\partial M}{\partial S})_t =
+-\Psi(M) (\frac{\partial M}{\partial t})_S(\frac{\partial
+t}{\partial S})_M $$
+\\
+\\
+avendo indicato con $\Psi$(M) = dN/dM la distribuzione
+di masse propria dell'ammasso (IMF = [[wp>Initial_mass_function|Initial Mass Function]]). E' facile riconoscere che l'espressione precedente
+rappresenta semplicemente l'espressione euleriana dell'[[wp.it>Equazione_di_continuità|equazione
+di continuità]]. Per fasi evolutive avanzate, laddove tende a zero
+l'intervallo di masse popolanti l'isocrona, potremo porre $\Psi(M)
+\sim cost$ e cosi anche per il flusso temporale lungo l'isocrona
+($\partial M/\partial t)_S \sim cost$. Se ne ricava che, sotto
+tali condizioni, il numero di stelle in una fase evolutiva
+avanzata risulta proporzionale al tempo speso dalle stelle
+evolventi lungo la loro traccia in tale fase.
+\\
+\\
+{{:c06:figura_06_a11.jpg?500}}
+\\
+**Fig. 6.25** Funzione di luminosità per l'Ammasso
+Globulare [[http://gclusters.altervista.org/cluster_4.php?ggc=NGC%206356|NGC6356]]
+confrontata con le predizioni teoriche per la
+distribuzione dal //Turn Off// sino al //tip// del //ramo delle giganti//.
+I dati teorici assmono [Fe/H]=-0.9, età 14 Gyr, (m-M)v = 18.05.
+\\
+\\
+Come utile applicazione di tale relazione abbiamo in precedenza
+discusso il caso della [[wp.it>Funzione_di_luminosità_(astronomia)|funzione di luminosità]] del ramo
+delle [[wp.it>Gigante_rossa|Giganti Rosse]] in un [[wp.it>Ammasso Globulare]].
+A titolo orientativo la **Fig. 6.24** riporta la distribuzione teorica
+massa-luminosità lungo isocrone di età compresa tra 9 e 21
+Gyr. Come atteso, la variazione della massa interessa
+essenzialmente le strutture di //Sequenza Principale//. Le subgiganti che si collocano
+tra il //Turn Off// e la base del //ramo delle giganti// hanno variazioni
+già più contenute, e dalla base delle giganti la massa
+evolvente diventa sensibilmente costante. Si è a suo tempo
+indicato come lungo il ramo delle giganti si possa porre
+\\
+\\
+$$log\tau \propto logL \ \ \ {\rm dove} \ \ \  \tau = \frac{dt}{dlogL}$$
+\\
+\\
+è la velocità evolutiva (in luminosità) delle
+giganti. Mostreremo qui che tale relazione è conseguenza diretta
+del fatto che lungo il ramo delle Giganti Rosse, come
+ogniqualvolta si sia in presenza di stelle con nucleo degenere,
+esiste una relazione massa del nucleo-luminosità
+\\
+\\
+$$L = M_n^\alpha$$
+\\
+\\
+che ci indica come in tali strutture sia la massa del
+nucleo degenere a governare la luminosità di una stella.
+A fianco della precedente relazione potremo infatti considerare
+l'ulteriore relazione che collega la luminosità della struttura
+alla crescita temporale della massa del nucleo
+\\
+\\
+$$ dM_n = \mu L dt $$
+\\
+\\
+dove $\mu$ rappresenta la massa di elio sintetizzato
+nella produzione dell'unità di energia. Differenziando la prima
+relazione si ottiene
+\\
+\\
+$$ dM_n =\frac{1}{\alpha}L^{\frac {1-\alpha}{\alpha}}dL $$
+che sostituita nella seconda relazione conduce con
+facili passaggi a
+\\
+\\
+$$\frac{dt}{dlogL} = \tau = \frac{1}{\mu \alpha}L^{\frac {1-\alpha}{\alpha}} $$
+\\
+\\
+da cui la attesa relazione
+\\
+\\
+$$log \tau = cost + \frac{1-\alpha}{\alpha}logL $$
+\\
+\\
+La **Fig.6.25** mostra come i riscontri sperimentali siano
+in generale in buon accordo con le previsioni, rivelando anche il
+bump delle giganti prodotto dall'incontro della shell di
+combustione di H con la discontinuità prodotta dall'affondamento
+della convezione superficiale.
+</WRAP>
+----
+~~DISQUS~~