c07:06_nane_bianche
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== 7.6 Nane Bianche: la relazione massa-raggio ====== | ||
+ | |||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | Per concludere il quadro evolutivo delle stelle di piccola massa | ||
+ | resta da esaminare con ulteriori dettagli la configurazione delle | ||
+ | strutture nella loro ultima fase di degenerazione elettronica. Da | ||
+ | un punto di vista osservativo, | ||
+ | luce dall' | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | per Sirio B una massa dell' | ||
+ | luminosità pari a circa 1/500 di quella solare. | ||
+ | ottenuto nel [[wp.it> | ||
+ | dell' | ||
+ | luminosità (L=4$\pi$R$^2\sigma $T$_e^4$) si dovette | ||
+ | necessariamente concludere per un raggio inferiore al 2% di | ||
+ | quello solare e corrispondentemente, | ||
+ | almeno di 10< | ||
+ | struttura elettronicamente degenere. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | La struttura di una stella // | ||
+ | sistema politropico (--> 5.1 e A5.1): | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{dP}{dr} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{dM_r}{dr} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P = k \rho^\gamma.$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ove, a differenza del caso dei gas non degeneri, ambedue | ||
+ | gli indici k ed $\gamma$ sono univocamente determinati dalla | ||
+ | condizione di degenerazione elettronica. Nel caso di degenerazione | ||
+ | non-relativistica ($\rho < 10^6$ gr/cm$^3$) si ha: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P = 1.0 * 10^{12} (\rho/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | da cui una politropica di indice 3/2. Al crescere della | ||
+ | densità gli elettroni sono spinti a energie relativistiche. Al | ||
+ | limite relativistico (P$_e >$ m$_e c^2, \rho > 10^6 $ gr/cm$^3$) | ||
+ | risulta analogamente: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P = 1.2 * 10^{15} (\rho/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Dalla struttura del sistema politropico discende che per ogni | ||
+ | fissata densità centrale $\rho_c$ resta fissata | ||
+ | centrale e, con essa, tutta la struttura ed in particolare la | ||
+ | massa ed il raggio della stella. Ad ogni massa deve dunque | ||
+ | corrispondere una e una sola densità centrale ed un determinato | ||
+ | raggio della struttura degenere. Ciò è una conseguenza diretta | ||
+ | del fatto che, se tutta la pressione è fornita dagli elettroni | ||
+ | degeneri, | ||
+ | contributo dell' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | ** Fig.7.17 ** La relazione teorica massa-raggio per | ||
+ | strutture elettronicamente degeneri confrontata con i dati | ||
+ | sperimentali per alcune Nane Bianche. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nel caso di degenerazione non relativistica, | ||
+ | valutazione di ordini di grandezza consente di valutare la | ||
+ | dipendenza di raggio e densità centrali dalla massa. Ponendo | ||
+ | infatti $\rho \sim M/R^3$, si ha dall' | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ P \sim \frac {GM^2}{R^4}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | ma è anche $P=K\rho^{5/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ R \propto M^{-1/3} \ \ \ \rm e \ anche \ \ \ \rho \propto M^2$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | //Maggiore è la massa della struttura minore deve dunque essere il | ||
+ | raggio della medesima.// Ciò discende dal fatto che al crescere | ||
+ | della massa la densità centrale necessaria per sostenere la | ||
+ | struttura cresce col quadrato della massa stessa. La soluzione | ||
+ | della politropica fornisce in effetti per il raggio di una Nana | ||
+ | Bianca di M masse solari: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$R \sim \frac{ 0.02 }{\mu_e^{5/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $\mu_e$, [[wp.it> | ||
+ | già a suo tempo definito come la massa, in unità della massa | ||
+ | dell' | ||
+ | dell' | ||
+ | importanza nel quadro evolutivo che stiamo esaminando, | ||
+ | gli altri elementi si ha $\mu_e \sim $ 2, e, in particolare, | ||
+ | $\mu_e$=2 per $^{4}$He, $^{12}$C, | ||
+ | una struttura degenere evoluta dipende quindi solo dalla massa, e | ||
+ | non dipende dalla composizione chimica della struttura stessa | ||
+ | nè, come si è più volte ripetuto, dal suo contenuto termico. | ||
+ | |||
+ | La relazione precedente resta valida per M $\le$ 0.5 M$_{\odot}$. | ||
+ | Per masse superiori si raggiungono densità a cui interviene la | ||
+ | degenerazione relativistica, | ||
+ | dipendenza del raggio dalla massa. La Fig. **7.17** | ||
+ | come queste previsioni teoriche siano ben confortate dai dati | ||
+ | sperimentali per alcune nane bianche appartenenti a sistemi binari, | ||
+ | confortando, | ||
+ | sulle proprietà della materia degenere. | ||
+ | |||
+ | Un' | ||
+ | nane bianche è fornita dallo spostamento delle righe spettrali | ||
+ | (redshift) causato dal forte campo gravitazionale, | ||
+ | le prescrizioni della relatività generale. Per un fotone di | ||
+ | energia h$\nu_0$ emesso alla superficie di una stella di massa M e | ||
+ | raggio R, che raggiunga un osservatore all' | ||
+ | infatti porre | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$h\nu = h\nu_0 - \frac {GM}{R}\frac {h\nu_0}{c^2}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove il secondo termine al secondo membro rappresenta il | ||
+ | lavoro del campo gravitazionale delle stella. Se ne ricava | ||
+ | immediatamente | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{\nu_0 - \nu}{\nu_0}= \frac {GM}{Rc^2}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Tale redshift, trascurabile in strutture stellari normali, diviene | ||
+ | oservabile nelle nane bianche a causa della grande gravità superficiale. | ||
+ | Viene sovente riportato sotto forma di //Effetto Doppler | ||
+ | Equivalente// | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$v=0.64 \frac {M}{R} | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove M e R sono in unità solari. Per le due Nane Bianche Sirio B | ||
+ | e [[wp.it> | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | ** Fig. 7.18** Andamento con il tempo della luminosità | ||
+ | di un modello di Nana Bianca di CO, 0.6 M$_{\odot}$. Nelle linee | ||
+ | a tratti è trascurato il calore di cristallizzazione. Caso A: | ||
+ | inviluppo di 1.5 10$^{-4}$ M$_{\odot}$ di H; caso B: inviluppo di | ||
+ | 0.016 M$_{\odot}$ di He. Il tempo t è in anni. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Da un punto di vista generale, asserire che per ogni prefissata | ||
+ | massa una Nana Bianca ha un raggio fissato, indipendentemente da | ||
+ | ogni assunzione su temperatura e luminosità, | ||
+ | che la Nana si comporta come un corpo solido, quali - per fornire | ||
+ | un' | ||
+ | formatosi | ||
+ | irraggiando dalla sua superficie come un corpo nero, a spese | ||
+ | dell' | ||
+ | stato di minima energia compatibile con la loro natura di | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | sequenza a raggio costante (L $\propto$ T$_e^4$) dissipando prima | ||
+ | l' | ||
+ | di cristallizazione degli stessi, destinata a raffreddarsi sino a | ||
+ | porsi in equilibrio con il fondo cosmico dell' | ||
+ | generale, con il campo di radiazione locale. | ||
+ | |||
+ | All' | ||
+ | la luminosità è molto alta, perchè corrispondentemente alte | ||
+ | sono le perdite per irraggiamento. Al diminuire della luminosità | ||
+ | decresce anche la temperatura efficace e con questa diminuiscono | ||
+ | anche le perdite di energia, e i tempi evolutivi si allungano | ||
+ | corrispondentemente. La Fig. **7.18** riporta un esempio | ||
+ | dell' | ||
+ | Bianca lungo la sua sequenza di raffreddamento, | ||
+ | rallentamento portato dal contributo del calore di | ||
+ | cristallizzazione. Si noti come i tempi di raffreddamento | ||
+ | dipendono anche dalle dimensioni e dalla composizione di sia pur | ||
+ | tenui inviluppi residui, sia per il possibile contributo | ||
+ | energetico di combustioni superficiali di idrogeno, sia perchè | ||
+ | l' | ||
+ | quindi, le perdite di energie della struttura. | ||
+ | |||
+ | La figura mostra come i tempi di raffreddamento possano | ||
+ | raggiungere e superare i 10< | ||
+ | conseguenza che anche negli ammassi stellari più antichi, quali | ||
+ | gli [[wp.it> | ||
+ | terminato il loro raffreddamento, | ||
+ | luminosità il tempo della loro formazione. La | ||
+ | **Fig. 7.19** mostra la l' | ||
+ | sequenze di egual raggio calcolate per varie masse, poste a | ||
+ | confronto con la distribuzione osservata per un campione di Nane | ||
+ | Bianche di campo. | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | **Fig. 7.19** | ||
+ | Nane Bianche ($\mu_e = 2$) per vari valori della massa. Per | ||
+ | confronto sono riportate alcune linee R=cost ed è indicata la | ||
+ | collocazione di una Sequenza Principale. I cerchietti aperti | ||
+ | mostrano la collocazione di alcuni nuclei di Nebulosa Planetaria, | ||
+ | progenitori di Nane Bianche a minor temperatura efficace. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | Per concludere ricordiamo come le densità in una Nana Bianca | ||
+ | restino fissata una volta fissata massa e $\mu_e$. Il numero di | ||
+ | particelle per unità di volume sarà peraltro inversamente | ||
+ | proporzionale alla massa delle medesime. Poichè ogni ione | ||
+ | possiede una energia $\propto$ kT, ne segue, ad esempio, che una | ||
+ | Nana Bianca di He avrà - a parità di temperature - un | ||
+ | contenuto termico molto maggiore di una Nana di CO e, | ||
+ | corrispondentemente, | ||
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+ | ~~DISQUS~~ | ||