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+====== 7.6 Nane Bianche: la relazione massa-raggio ======
+<WRAP justify>
+Per concludere il quadro evolutivo delle stelle di piccola massa
+resta da esaminare con ulteriori dettagli la configurazione delle
+strutture nella loro ultima fase di degenerazione elettronica. Da
+un punto di vista osservativo, la prima [[wp.it>nana bianca]] venne alla
+luce dall'evidenza dell'esistenza di un "compagno oscuro" di
+[[wp.it>Sirio]], [[wp.it>Sirio#Sirio_B|Sirio B]].  Dai parametri di tale sistema binario si ricavava
+per Sirio B una massa dell'ordine di 1 $M$_{\odot}$, con una
+luminosità pari a circa 1/500 di quella solare.  Lo spettro,
+ottenuto nel [[wp.it>1915]], rivelò peraltro una temperatura efficace
+dell'ordine di 9000 K.  Dal bilancio tra emissività e
+luminosità (L=4$\pi$R$^2\sigma $T$_e^4$) si dovette
+necessariamente concludere per un raggio inferiore al 2% di
+quello solare e corrispondentemente, per densità dell'ordine
+almeno di 10<sup>5</sup> gr/cm<sup>3</sup>. In tali condizioni ci si attende una
+struttura elettronicamente degenere.
+La struttura di una stella //totalmente degenerata// è retta dal
+sistema politropico (--> 5.1 e A5.1):
+\\
+\\
+$$\frac{dP}{dr}  = - \frac{  GM_r \rho }{ r^2 }$$
+\\
+\\
+$$\frac{dM_r}{dr}  = 4 \pi r^2 \rho$$
+\\
+\\
+$$P = k \rho^\gamma.$$
+\\
+\\
+ove, a differenza del caso dei gas non degeneri, ambedue
+gli indici k ed $\gamma$ sono univocamente determinati dalla
+condizione di degenerazione elettronica. Nel caso di degenerazione
+non-relativistica ($\rho < 10^6$  gr/cm$^3$) si ha:
+\\
+\\
+$$P = 1.0 * 10^{12} (\rho/\mu_e)^ {5/3}   $$
+\\
+\\
+da cui una politropica di indice 3/2. Al crescere della
+densità gli elettroni sono spinti a energie relativistiche. Al
+limite relativistico (P$_e >$ m$_e c^2, \rho > 10^6 $ gr/cm$^3$)
+risulta analogamente:
+\\
+\\
+$$P = 1.2 * 10^{15} (\rho/\mu_e)^ {4/3} = {\rm politropica \ di \ indice \ 3} $$.
+\\
+\\
+Dalla struttura del sistema politropico discende che  per ogni
+fissata densità centrale $\rho_c$ resta fissata  la pressione
+centrale e, con essa, tutta la struttura ed in particolare la
+massa ed il raggio della stella. Ad ogni massa deve dunque
+corrispondere una e una sola  densità centrale ed un determinato
+raggio della struttura degenere. Ciò è una conseguenza diretta
+del fatto che, se tutta la pressione è fornita dagli elettroni
+degeneri,  pur se le temperature possono essere ancora elevate il
+contributo dell'energia termica è  trascurabile.
+\\
+\\
+{{:c07:figura07_17.jpg?450}}
+\\
+** Fig.7.17 ** La relazione teorica massa-raggio per
+strutture elettronicamente degeneri confrontata con i dati
+sperimentali per alcune Nane Bianche.
+\\
+\\
+Nel caso di degenerazione non relativistica,  una semplice
+valutazione di ordini di grandezza consente di valutare la
+dipendenza di raggio e densità centrali dalla massa. Ponendo
+infatti $\rho \sim  M/R^3$, si ha dall'equilibrio idrostatico:
+\\
+\\
+$$ P \sim  \frac {GM^2}{R^4}$$
+\\
+\\
+ma è  anche $P=K\rho^{5/3} \sim K M^{5/3}/R^5$, da cui
+\\
+\\
+$$ R \propto M^{-1/3} \ \ \ \rm e \ anche \ \ \ \rho \propto M^2$$
+\\
+\\
+//Maggiore è la massa della struttura minore deve dunque essere il
+raggio della medesima.// Ciò discende dal fatto che al crescere
+della massa la densità centrale necessaria per sostenere la
+struttura cresce col quadrato della massa stessa. La soluzione
+della politropica fornisce in effetti per il raggio di una Nana
+Bianca di M masse solari:
+\\
+\\
+$$R  \sim \frac{ 0.02 }{\mu_e^{5/3}M^{1/3}} \ \ \ R_{\odot}$$
+\\
+\\
+dove $\mu_e$, [[wp.it>Massa_molecolare|peso molecolare]] medio per elettrone, è stato
+già a suo tempo definito come la massa, in unità della massa
+dell'idrogeno,  per  elettrone libero. Fatta eccezione per il caso
+dell'idrogeno ($\mu_e$ = 1), che peraltro riveste scarsa
+importanza nel quadro evolutivo che stiamo esaminando,  per tutti
+gli altri elementi si ha $\mu_e \sim $ 2, e, in particolare, si ha
+$\mu_e$=2 per $^{4}$He, $^{12}$C,   $^{16}$O, $^{20}$Ne.  Il  raggio di
+una struttura degenere evoluta dipende quindi solo dalla massa, e
+non dipende dalla composizione chimica della struttura stessa
+nè, come si è più volte ripetuto, dal suo contenuto termico.
+La relazione precedente resta valida per M $\le$ 0.5 M$_{\odot}$.
+Per masse superiori si raggiungono densità a cui interviene la
+degenerazione relativistica,  che tende ad accrescere la
+dipendenza del raggio dalla massa. La Fig. **7.17**  mostra
+come queste previsioni teoriche siano ben confortate dai dati
+sperimentali per alcune nane bianche appartenenti a sistemi binari,
+confortando, in ultima analisi, le correnti valutazioni teoriche
+sulle proprietà della materia degenere.
+Un'indipendente indicazione osservativa sul rapporto M/R nelle
+nane bianche è fornita dallo spostamento delle righe spettrali
+(redshift) causato dal forte campo gravitazionale, in accordo con
+le prescrizioni della relatività generale. Per un fotone di
+energia h$\nu_0$ emesso alla superficie di una stella di massa M e
+raggio R, che raggiunga un osservatore all'infinito potremo
+infatti porre
+\\
+\\
+$$h\nu = h\nu_0 - \frac {GM}{R}\frac {h\nu_0}{c^2}$$
+\\
+\\
+dove il secondo termine al secondo membro rappresenta il
+lavoro del campo gravitazionale delle stella. Se ne ricava
+immediatamente
+\\
+\\
+$$\frac{\nu_0 - \nu}{\nu_0}= \frac {GM}{Rc^2}$$
+\\
+\\
+Tale redshift, trascurabile in strutture stellari normali, diviene
+oservabile nelle nane bianche a causa della grande gravità superficiale.
+Viene sovente riportato sotto forma di //Effetto Doppler
+Equivalente// ponendo $\Delta \lambda/\lambda = v/c$, da cui
+\\
+\\
+$$v=0.64 \frac {M}{R}  \ \ \ {\rm km/sec}$$
+\\
+\\
+dove M e R sono in unità solari. Per le due Nane Bianche Sirio B
+e [[wp.it>Keid#Keid_B|Keid B]] (chiamate rispettivamente "CMa B" e "40 Eri B" nella [[wp.it>Nomenclatura di Flamsteed]]) si ottiene così v = 92 ± 8 km/sec e 22 ± 1.4 km/sec.
+\\
+\\
+{{:c07:figura07_18.jpg?450}}
+\\
+** Fig. 7.18** Andamento con il tempo della luminosità
+di un modello di Nana Bianca di CO,  0.6 M$_{\odot}$. Nelle linee
+a tratti è trascurato il calore di cristallizzazione. Caso A:
+inviluppo di 1.5 10$^{-4}$ M$_{\odot}$ di H; caso B: inviluppo di
+.016 M$_{\odot}$ di He. Il tempo t è in anni.
+\\
+\\
+Da un punto di vista generale, asserire che per ogni prefissata
+massa una Nana Bianca ha un raggio fissato, indipendentemente da
+ogni assunzione su temperatura e luminosità, significa indicare
+che la Nana si comporta come un corpo solido, quali - per fornire
+un'immagine- una sfera di metallo o un [[wp.it>mattone]]. Tale corpo,
+formatosi  da materia ad altissime temperatura, perderà energia
+irraggiando dalla sua superficie come  un corpo nero, a spese
+dell'energia degli ioni, essendo ormai gli elettroni nel loro
+stato di minima energia compatibile con la loro natura di
+[[wp.it>fermioni]]. La struttura percorrerà quindi nel diagramma HR una
+sequenza a raggio costante (L $\propto$ T$_e^4$) dissipando prima
+l'energia di agitazione termica degli ioni e poi anche il calore
+di cristallizazione degli stessi, destinata a raffreddarsi sino a
+porsi in equilibrio con il fondo cosmico dell'Universo o, più in
+generale, con il campo di radiazione locale.
+All'inizio del raffreddamento la velocità con la quale decresce
+la luminosità è molto alta, perchè corrispondentemente alte
+sono le perdite per irraggiamento. Al diminuire della luminosità
+decresce anche la temperatura efficace e con questa diminuiscono
+anche le perdite di energia, e i tempi evolutivi si allungano
+corrispondentemente. La Fig. **7.18** riporta un esempio
+dell'andamento temporale della luminosità di un modello di Nana
+Bianca lungo la sua sequenza di raffreddamento, mostrando il
+rallentamento portato dal contributo del calore di
+cristallizzazione. Si noti come i tempi di raffreddamento
+dipendono anche dalle dimensioni e dalla composizione di sia pur
+tenui inviluppi residui, sia per il possibile contributo
+energetico di combustioni superficiali di idrogeno, sia perchè
+l'opacità degli inviluppi governa la temperatura efficace e,
+quindi, le perdite di energie della struttura.
+La figura mostra come i tempi di raffreddamento possano
+raggiungere e superare i 10<sup>10</sup> anni: ci si attende di
+conseguenza che anche negli ammassi stellari più antichi, quali
+gli [[wp.it>ammassi globulari]], le prime Nane formatesi non abbiano ancora
+terminato il loro raffreddamento, marcando quindi con la loro
+luminosità il tempo della loro formazione. La
+**Fig. 7.19** mostra la l'andamento nel diagramma HR di
+sequenze di egual raggio calcolate per varie masse, poste a
+confronto con la distribuzione osservata per un campione di Nane
+Bianche di campo.
+\\
+{{:c07:figura07_19.jpg?450}}
+\\
+\\
+**Fig. 7.19**  Sequenze teoriche di raffreddamento di
+Nane Bianche ($\mu_e = 2$) per vari valori della massa. Per
+confronto sono riportate alcune linee R=cost ed è indicata la
+collocazione di una Sequenza Principale. I cerchietti aperti
+mostrano la collocazione di alcuni nuclei di Nebulosa Planetaria,
+progenitori di Nane Bianche a minor temperatura efficace.
+\\
+\\
+Per concludere ricordiamo come le densità in  una Nana Bianca
+restino fissata una volta fissata massa e $\mu_e$. Il numero di
+particelle per unità di volume sarà peraltro inversamente
+proporzionale alla massa delle medesime. Poichè ogni ione
+possiede una energia $\propto$ kT, ne segue, ad esempio, che una
+Nana Bianca di He avrà - a parità di temperature - un
+contenuto termico molto maggiore di una Nana di CO e,
+corrispondentemente, tempi di raffreddamento più lunghi.
+</WRAP>
+----
+~~DISQUS~~