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+====== 7.7 La massa limite di Chandrasekhar ======
+<WRAP justify>
+La teoria pone un limite superiore alla massa di una struttura
+sorretta dalla [[wp.it>Materia_degenere|degenerazione elettronica]], pari a circa 1.4
+M$_{\odot}$. Tale limite ([[wp.it>Limite_di_Chandrasekhar|limite di Chandrasekhar]]) fu a suo
+tempo ricavato come conseguenza diretta delle relazioni fisiche
+che siamo andati sin qui esponendo. Si può comprendere l'origine
+di tale limite ricordando che al crescere della massa cresce la
+densità (serve maggior pressione degli elettroni) e la
+degenerazione è fatalmente spinta verso il regime relativistico.
+Al limite pienamente relativistico esiste una ed una sola
+struttura possibile, la cui massa è fornita dalla relazione
+\\
+\\
+$$ M = \frac {5.75}{\mu_e^2} M_{\odot}$$
+\\
+\\
+Ripetendo il precedente calcolo di ordini di grandezza nel caso
+relativistico (P $\propto \rho^{4/3}$) si ha infatti:
+\\
+\\
+$$P \sim \frac{G M^2}{R^4} \ \ \ {\rm e \ \ anche} \ \ \ P \sim \frac
+{K M^{4/3}}{R^4}$$
+\\
+\\
+da cui si ricava la massa M = (K/G)$^{-2/3}$. In pratica
+si trova che raggiungendo la piena degenerazione relativistica la
+struttura dovrebbe ridursi ad un punto, né sono permesse
+strutture di equilibrio con masse maggiori.
+Al di là di tale approccio analitico, il problema della massa
+limite è in realtà governato da meccanismi fisici più
+complessi. Al crescere della densità cresce l'energia raggiunta
+dagli elettroni, finendo col superare la soglia per reazioni
+<tex>$\beta$</tex> inverse sui nuclei. Quando infatti l'energia di un
+elettrone diviene superiore all'energia del decadimento <tex>$\beta$</tex> di
+un nucleo di numero di massa A e carica Z-1, diventano possibili
+le reazioni
+\\
+\\
+$$e^- + (Z,A) \rightarrow (Z-1,A) + \nu $$
+\\
+\\
+La Tabella 4 riporta le densità di soglia per
+l'innesco di tali processi per diverse specie atomiche.
+\\
+</WRAP>
+^ Reazione ^ Energia (MeV) ^ $\rho_0 (gr * cm^{-3})$ ^
+| $ ^1_1H \rightarrow n$ | 0.782 | 1.22*10$^7$ |
+| $ ^4_2He \rightarrow ^3_1H + n \rightarrow 4n$  | 20.596 | 1.37*10$^{11}$  |
+| $^{12}_{~6}C \rightarrow ^{12}_{~5}B \rightarrow ^{12}_{~4}Be$ | 13.370 | 3.90*10$^{10}$|
+| $^{16}_{~8}O \rightarrow ^{16}_{~7}N \rightarrow ^{16}_{~6}C$| 10.419| 1.90*10$^{10}$|
+| $^{20}_{10}Ne \rightarrow ^{20}_{~9}F \rightarrow ^{20}_{~8}O$ | 7.026 |6.21*10$^{9}$|
+| $^{24}_{12}Mg \rightarrow ^{24}_{11}Na \rightarrow ^{24}_{10}Ne$ | 5.513 |3.16*10$^{9}$|
+| $^{28}_{14}Si \rightarrow ^{28}_{13}Al \rightarrow ^{28}_{12}Mg $ | 4.643 | 1.97*10$^{9}$|
+| $^{32}_{16}S \rightarrow ^{32}_{15}P \rightarrow ^{32}_{14}Si$ | 1.710 | 1.47*10$^{8}$|
+| $^{56}_{26}Fe \rightarrow ^{56}_{25}Mn \rightarrow ^{56}_{24}Cr$ | 3.695 |1.14*10$^{9}$|
+<WRAP justify>
+**Tabella 4** Densità di soglia per la neutronizzazione. Dall'energia
+di soglia è sottratta l'energia di massa dell'elettrone
+m<sub>e</sub>c<sup>2</sup> =0.511 MeV.
+\\
+\\
+Valutazioni dettagliate (Fig. 7.20) mostrano che che al
+crescere della massa di una struttura elettronicamente degenere, e
+quindi della sua densità, avvicinandosi alla massa limite di
+Chandrasekhar intervengono processi $\beta$ inversi che,
+aumentando $\mu_e$, inducono una diminuzione della massa limite.
+\\
+\\
+{{:c07:figura07_20.jpg?500}}
+\\
+** Fig.7.20** Relazioni massa-densità centrale per
+strutture elettronicamente degeneri di varia composizione, tenendo
+in conto i processi $\beta inversi. La linea a tratti mostra la
+soluzione di Chandrasekhar per $\mu_e$ = 2.
+\\
+\\
+La **Fig. 7.21** riporta una sintesi generale di tali
+risultati. Alle densità minori si trova il campo di esistenza
+delle strutture elettronicamente degeneri sin qui discusse. Al
+crescere ulteriore della densità centrale si hanno strutture
+instabili in cui la massa decresce all'aumentare di $\rho_c$. Si
+ritrova una zona di stabilità solo a densità dell'ordine di
+$\rho_c \sim $10$^{14}$ - 10$^{16}$ per strutture sorrette ora da
+neutroni degeneri (//Stelle di neutroni//). I neutroni, con spin
+/2, sono infatti anch'essi fermioni che ubbidiscono alla
+[[wp.it>Statistica_di_Fermi-Dirac|statistica di Fermi Dirac]], in grado quindi di sviluppare una
+pressione di degenerazione. Nel caso non relativistico si trova
+così P $\sim$ 4 10$^{9} \rho^{5/3}$. A titolo orientativo
+ricordiamo qui che il raggio tipico di una stella di neutroni
+risulta dell'ordine di 10 km, contro i 10<sup>3</sup>-10<sup>4</sup> km di una
+Nana Bianca e i 10<sup>6</sup> km del Sole.
+\\
+\\
+{{:c07:figura07_21.jpg?500}}
+\\
+** Fig.7.21** Relazioni massa-densità centrale per
+strutture  sorrette da elettroni o neutroni degeneri. Le linee a
+tratti rappresentano strutture instabili. Per le stelle di
+neutroni  è riportata la soluzione ricavata dall'equazione di
+Oppenheimer-Volkoff (OV) assieme ad una soluzione che include
+opportune interazioni tra neutroni.
+\\
+\\
+Alle densità delle stelle di neutroni non è peraltro più
+valida l'approssimazione Newtoniana, e il campo gravitazionale
+dovrà essere descritto in accordo con la [[wp.it>Relatività_generale|relatività generale]],
+secondo l'//equazione di Oppenheimer Volkoff// (--> [[c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff|A2.3]]).
+La soluzione dipende dalle assunzioni che devono essere
+necessariamente fatte sull'equazione di stato della materia
+neutronica. Si ritrova in ogni caso ancora una massa limite, ma il
+valore di tale massa dipende criticamente da tali assunzioni.
+Assumendo l'equazione di stato non relativistica si troverebbe una
+massa limite M $\sim$ 0.7 M$_{\odot}$. La figura 7.21
+mostra peraltro un esempio di come equazioni di stato che
+introducono opportunele interazioni tra neutroni possano innalzare
+la massa limite per tali strutture. Oggi si ritiene che il limite
+di massa per le stelle a neutroni  si collochi attorno alle 2 - 3
+$M_{\odot}$, anche se la maggioranza delle stelle di neutroni
+osservate come [[wp>pulsar]] ha masse attorno alle 1.4 M$_{\odot}$.
+A titolo orientativo ricordiamo qui che il raggio tipico di una
+stella di neutroni risulta dell'ordine di 10 km, contro i
+<sup>3</sup>-10<sup>4</sup> km di una Nana Bianca
+e i 10<sup>6</sup> km del Sole. Per le
+Nane Bianche resta in ogni caso stabilito un limite superiore di
+massa dato, con buona approssimazione, dal limite di Chandrasekhar
+M$_{Ch}$ precedentemente riportato. Per una struttura di idrogeno
+$\mu_e$=1 e M$_{Ch}$ = 5.8 M$_{\odot}$, un limite di scarsa
+rilevanza perchè sappiamo che in condizioni normali strutture di
+H di massa maggiore di 0.1 M$_{\odot}$ giungono ad innescare la
+combustione dell'idrogeno. Per <sup>4</sup>He, <sup>12</sup>C,
+<sup>16</sup>O, <sup>20</sup>Ne etc $\mu_e = 2$ e quindi
+\\
+\\
+$M_{Ch}\ \ \sim \ 1.4 M_{\odot}$
+\\
+\\
+limite che giocherà un ruolo essenziale nell'evoluzione delle
+stelle massicce e nella produzione di Supernovae di tipo I nei
+sistemi binari.
+Per completezza, ricordiamo infine che a temperatura zero ma
+densità sufficientemente alte diventano possibili anche reazioni
+nucleari: l'energia dei nuclei nel lattice può divenire
+sufficientemente elevata da superare la repulsione coulombiana,
+dando luogo a reazioni che prendono il nome di //reazioni
+picnonucleari//, dal greco "pyknos" = denso. Si stima che a 10<sup>6</sup>
+gr cm<sup>-3</sup> H sarebbe convertito in He in circa 10<sup>5</sup> anni, e a
+<sup>10</sup> gr cm<sup>-3</sup> He sarebbe convertito in C.  Il calcolo di
+tali processi è peraltro molto difficoltoso, e i valori
+riportati sono solo indicativi.
+</WRAP>
+----
+~~DISQUS~~