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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== A8.6 Il bilancio del viriale ed il criterio di stabilità delle strutture ======
+<WRAP justify>
+Dal teorema del Viriale, per una struttura quasi stabile deve
+valere
+\\
+\\
+$$2T+\Omega = 0$$
+\\
+\\
+con l'ormai usuale significato dei simboli. Si può indagare più a fondo il bilancio energetico della struttura
+ricordando (--> A2.1) che l'energia interna per
+particella risulta
+\\
+\\
+$$u = \frac{n}{2} kT$$
+\\
+\\
+dove n è il numero di gradi di libertà. Per
+l'energia cinetica della particella si ha in particolare
+\\
+\\
+$$w = \frac{3}{2} kT$$
+\\
+\\
+da cui
+\\
+\\
+$$w = \frac{3}{n} u = \frac{3}{2} (\frac{2}{n}) u$$
+\\
+\\
+Ponendo $\gamma$ = 1 +2/n, $\gamma$ -1= 2/n e per l'energia
+cinetica si ha la forma
+\\
+\\
+$$w=\frac{3}{2}(\gamma-1) u$$
+\\
+\\
+Dalla termodinamica elementare si ricava facilmente che $\gamma$
+è il rapporto $C_P /C_V$ dei calori specifici a pressione o
+volume costanti.
+La precedente relazione tra energia cinetica ed energia totale
+della materia consente di ricavare un dettagliato bilancio
+energetico del processo di contrazione. L'energia totale posseduta
+dalla struttura risulterà infatti, ponendo U = $\Sigma_i$ u$_i$
+\\
+\\
+$$E = U + \Omega$$
+\\
+\\
+ma per il viriale, risultando T=$\Sigma_i$ w$_i$, deve
+anche valere
+\\
+\\
+$$3 (\gamma - 1) U + \Omega = 0$$
+\\
+\\
+da cui si ricava in definitiva
+\\
+\\
+$$ E = \frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} \Omega $$
+\\
+\\
+Per una contrazione, d$\Omega < 0$, e le due precedenti relazioni
+forniscono
+\\
+\\
+$$ dE =\frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} d\Omega $$
+\\
+\\
+$$ dU = -\frac {1}{3(\gamma - 1)} d\Omega$$
+\\
+\\
+Ne segue che per $\gamma >$ 4/3 la contrazione comporta una
+diminuzione di E: è questa l'energia disponibile per essere
+irradiata. Nel contempo la contrazione implica un aumento di U,
+confermando che in tal caso la contrazione aumenta l'energia
+interna e con essa l'energia cinetica della struttura.
+Per un gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3<, W = U, e si
+riconosce come metà dell'energia guadagnata dalla contrazione
+vada in energia cinetica delle particelle e metà venga
+irradiata. E' subito visto che al diminuire di $\gamma$ aumenta la
+frazione di energia gravitazionale che deve essere immagazzinata
+come energia interna per mantenere l'equilibrio. Al limite
+$\gamma$ = 4/3 (gas di fotoni) tutta l'energia guadagnata dalla
+contrazione deve andare in energia interna.
+Le precedenti considerazioni forniscono agevolmente un criterio di
+stabilità per la struttura. Sinchè $\gamma >$ 4/3 resta
+possibile l'equilibrio di una struttura stellare, in quanto
+l'energia guadagnata nella contrazione è sufficiente per
+innalzare adeguatamente l'energia interna e soddisfare le
+richieste del viriale. Per $\gamma <$ 4/3 ciò non è più
+possibile: l'energia guadagnata dalla contrazione diventa minore
+di quella necessaria per mantenere l'equilibrio idrostatico e si
+deve manifestare una instabilità gravitazionale. La condizione
+$\gamma >$ 4/3 è quindi condizione necessaria per la stabilità
+delle strutture stellari.
+</WRAP>
+----
+~~DISQUS~~