c08:bilancio_del_viriale
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A8.6 Il bilancio del viriale ed il criterio di stabilità delle strutture ====== | ====== A8.6 Il bilancio del viriale ed il criterio di stabilità delle strutture ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
Dal teorema del Viriale, per una struttura quasi stabile deve | Dal teorema del Viriale, per una struttura quasi stabile deve | ||
valere | valere | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$2T+\Omega = 0$$ | $$2T+\Omega = 0$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 13: | Linea 12: | ||
ricordando (--> A2.1) che l' | ricordando (--> A2.1) che l' | ||
particella risulta | particella risulta | ||
- | \\\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | + | \\ |
$$u = \frac{n}{2} kT$$ | $$u = \frac{n}{2} kT$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 24: | Linea 21: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$w = \frac{3}{2} kT$$ | $$w = \frac{3}{2} kT$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 32: | Linea 27: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$w = \frac{3}{n} u = \frac{3}{2} (\frac{2}{n}) u$$ | $$w = \frac{3}{n} u = \frac{3}{2} (\frac{2}{n}) u$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Ponendo | + | Ponendo $\gamma$ = 1 +2/n, $\gamma$ -1= 2/n e per l' |
cinetica si ha la forma | cinetica si ha la forma | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$w=\frac{3}{2}(\gamma-1) u$$ | $$w=\frac{3}{2}(\gamma-1) u$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Dalla termodinamica elementare si ricava facilmente che <tex>$\gamma$</ | + | Dalla termodinamica elementare si ricava facilmente che $\gamma$ |
- | è il rapporto | + | è il rapporto $C_P /C_V$ dei calori specifici a pressione o |
volume costanti. | volume costanti. | ||
Linea 53: | Linea 44: | ||
della materia consente di ricavare un dettagliato bilancio | della materia consente di ricavare un dettagliato bilancio | ||
energetico del processo di contrazione. L' | energetico del processo di contrazione. L' | ||
- | dalla struttura risulterà infatti, ponendo | + | dalla struttura risulterà infatti, ponendo U = $\Sigma_i$ u$_i$ |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$E = U + \Omega$$ | $$E = U + \Omega$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | ma per il viriale, risultando | + | ma per il viriale, risultando T=$\Sigma_i$ w$_i$, deve |
anche valere | anche valere | ||
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\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$3 (\gamma - 1) U + \Omega = 0$$ | $$3 (\gamma - 1) U + \Omega = 0$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 73: | Linea 60: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ E = \frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} \Omega $$ | $$ E = \frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} \Omega $$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Per una contrazione, | + | Per una contrazione, |
forniscono | forniscono | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ dE =\frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} d\Omega $$ | $$ dE =\frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} d\Omega $$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ dU = -\frac {1}{3(\gamma - 1)} d\Omega$$ | $$ dU = -\frac {1}{3(\gamma - 1)} d\Omega$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Ne segue che per <tex>$\gamma >$ 4/3</ | + | Ne segue che per $\gamma >$ 4/3 la contrazione comporta una |
diminuzione di E: è questa l' | diminuzione di E: è questa l' | ||
irradiata. Nel contempo la contrazione implica un aumento di U, | irradiata. Nel contempo la contrazione implica un aumento di U, | ||
Linea 98: | Linea 79: | ||
interna e con essa l' | interna e con essa l' | ||
- | Per un gas perfetto monoatomico | + | Per un gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3<, W = U, e si |
riconosce come metà dell' | riconosce come metà dell' | ||
vada in energia cinetica delle particelle e metà venga | vada in energia cinetica delle particelle e metà venga | ||
- | irradiata. E' subito visto che al diminuire di <tex>$\gamma$</ | + | irradiata. E' subito visto che al diminuire di $\gamma$ aumenta la |
frazione di energia gravitazionale che deve essere immagazzinata | frazione di energia gravitazionale che deve essere immagazzinata | ||
come energia interna per mantenere l' | come energia interna per mantenere l' | ||
- | <tex>$\gamma$ = 4/3</ | + | $\gamma$ = 4/3 (gas di fotoni) tutta l' |
contrazione deve andare in energia interna. | contrazione deve andare in energia interna. | ||
Le precedenti considerazioni forniscono agevolmente un criterio di | Le precedenti considerazioni forniscono agevolmente un criterio di | ||
- | stabilità per la struttura. Sinchè | + | stabilità per la struttura. Sinchè $\gamma >$ 4/3 resta |
possibile l' | possibile l' | ||
l' | l' | ||
innalzare adeguatamente l' | innalzare adeguatamente l' | ||
- | richieste del viriale. Per <tex>$\gamma <$ 4/3</ | + | richieste del viriale. Per $\gamma <$ 4/3 ciò non è più |
possibile: l' | possibile: l' | ||
di quella necessaria per mantenere l' | di quella necessaria per mantenere l' | ||
deve manifestare una instabilità gravitazionale. La condizione | deve manifestare una instabilità gravitazionale. La condizione | ||
- | <tex>$\gamma >$ 4/3</ | + | $\gamma >$ 4/3 è quindi condizione necessaria per la stabilità |
delle strutture stellari. | delle strutture stellari. | ||
- | \\ | + | </ |
- | \\ | + | |
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- | \\ | ||
~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ |
c08/bilancio_del_viriale.1447772387.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)