c03:la_media_di_rosseland
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A3.4 La media di Rosseland ====== | ====== A3.4 La media di Rosseland ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
L' | L' | ||
ricavata sotto l' | ricavata sotto l' | ||
Linea 7: | Linea 8: | ||
meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale | meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale | ||
assunzione sia in generale lungi dall' | assunzione sia in generale lungi dall' | ||
- | prefissata frequenza | + | prefissata frequenza $\nu$ della radiazione potremo definire |
- | <tex>$\lambda (\nu)$</ | + | $\lambda (\nu)$ come il cammino libero medio dei fotoni con |
- | frequenza compresa tra <tex>$\nu$</ | + | frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$, una corrispondente |
- | opacità | + | opacità $\kappa (\nu)= 1/\rho \lambda(\nu)$, |
ogni frequenza la relazione | ogni frequenza la relazione | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$ | $$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | dove <tex>$P(\nu)d\nu$</ | + | dove $P(\nu)d\nu$ e $\Phi(\nu)d\nu$ rappresentano il contributo |
alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni | alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni | ||
- | con frequenza compresa tra <tex>$\nu$</ | + | con frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$. Indicando inoltre |
- | con <tex>$E(\nu)$</ | + | con $E(\nu)$ la densità di energia radiativa nello stesso |
intervallo di frequenza, si avrà | intervallo di frequenza, si avrà | ||
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- | <tex> | ||
$$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$ | $$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 35: | Linea 32: | ||
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\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$ | $$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
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Linea 44: | Linea 39: | ||
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- | <tex> | ||
$$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu = | $$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu = | ||
\frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty} | \frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty} | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | dove <tex>$\overline \kappa$</ | + | dove $\overline \kappa$ prende il nome di //media di Rosseland// |
dell' | dell' | ||
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\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$ | $$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | e da E=aT<sup>4</ | + | e da $E=aT^4$ si ricava infine una relazione per il gradiente radiativo del tutto analoga a quanto |
- | ricavato nel caso grigio, ma con l' | + | ricavato nel caso grigio, ma con l' |
- | in equilibrio termodinamico la <tex>$E(\nu)= B(\nu,T)$</ | + | in equilibrio termodinamico la $E(\nu)= B(\nu,T)$ per la media di |
Rosseland si avrà | Rosseland si avrà | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | $$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | ||
\frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu, | ||
- | </tex> | + | </WRAP> |
- | \\ | + | |
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~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ |
c03/la_media_di_rosseland.1262878545.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)