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c04:il_biciclo_cn-no

4.6 Il biciclo CN-NO

Se, e solo se, nel gas stellare è presente anche una minima quantità di nuclei di carbonio, di azoto e/o di ossigeno, a temperature leggermente superiori a quelle necessarie per l'efficienza della catena protone-protone si apre un ulteriore canale di reazioni per la combustione dell'idrogeno in elio. Se, per esempio, assumiamo la presenza di soli nuclei di carbonio, a circa $15 10^6 ∞K$ diventano efficienti processi di cattura protonica che innescano una serie di reazioni

$^{12}C+p \rightarrow ^{13}N+\gamma$

$^{13}N \rightarrow ^{13}C+e^++\nu \\\ (\tau=870 sec)$

$^{13}C+p \rightarrow ^{14}N+\gamma$

$^{14}N+p \rightarrow ^{15}O+\gamma$

$^{15}O \rightarrow ^{15}N+e^++\nu \\\\ (\tau = 178 sec)$

$^{15}N+p \rightarrow (^{16}O)^* \rightarrow (\sim 99\%)\rightarrow ^{12}C+\alpha$

$^{15}N+p \rightarrow (^{16}O)^* \rightarrow (\sim ~1\%)\rightarrow ^{16}O+\gamma$

Si vede come il nucleo di $^{12}C$ aggreghi successivamente 4 protoni giungendo con l'ultima reazione alla produzione di un nucleo di $^{16}O$ in uno stato eccitato. Quest'ultimo decade preferenzialmente restituendo un nucleo di $^{12}C$ ed una particella $\alpha$ (nucleo di $^4_2He$). Trascurando per il momento l'ulteriore canale di decadimento in $^{16}O$, siamo dunque in presenza di un ciclo, in cui il carbonio funge da catalizzatore della fusione di 4 protoni in un nucleo di elio, rimanendo disponibile per una serie indeterminata di reazioni. Naturalmente il ciclo può prendere inizio quando sia presente almeno uno qualsiasi dei suoi componenti ($^{12}C,^{13}C,^{14}N,^{15}N $), essendosi in precedenza assunto il $^{12}C$ solo a titolo di esempio. Tale ciclo viene in genere indicato come ciclo CN ad indicare come esso sia basato sulla continua mutua trasformazione di questi due elementi.

Il biciclo CN-NO (Licenza CC BY-SA 3.0. Attribuzione: Borb)

Trattandosi di un ciclo, tutti i nuclei C e N sono contemporaneamente creati e distrutti, e assumono quindi la veste di elementi secondari, evolventi quindi verso una loro condizione di equilibrio. All'equilibrio $n_{1j}=cost$ $(j=12, 13, 14, 15)$ e per le abbondanze di equilibrio si ricava

$$N(^{12}C)<\sigma_{1,12}v>=N(^{13}C)<\sigma_{1,13}v>=N(^{14}N)<\sigma_{1,14}v>=\ldots.$$

Come atteso, l'abbondanza di equilibrio dei vari nuclei risulta quindi inversamente proporzionale alla sezione d'urto per i rispettivi processi di distruzione. La sezione d'urto di gran lunga minore è quella per processi di cattura protonica su $^{14}N$, seguita nell'ordine da quelle per gli analoghi processi su $^{12}C, ^{13}C$ e $^{15}N$. Corrispondentemente ci si attende che all'equilibrio oltre il 95% dei nuclei sia sotto forma di $^{14}N$ ed il resto largamente sotto forma di $^{12}C$.

figura_04_07.jpg
Fig. 4.7 Variazione col tempo dell'abbondanza dei vari elementi del ciclo CNO in una miscela con composizione iniziale solare, mantenuta a T= 30*10$^6$ K, $\rho$ = 1 gr/cm$^3$. La linea a tratti mostra l'evoluzione temporale del coefficiente $\varepsilon$ di generazione di energia. Il tempo t è in anni



Abbiamo peraltro già indicato come il ciclo CN non sia perfetto, perdendo una piccola parte dei nuclei a formare $^{16}O$. Tale perdita è peraltro effimera, perché tale elemento viene a sua volta processato per restituire nuclei di $^{14}N$. Si ha infatti

$^{16}O + p \rightarrow ^{17}F + \gamma$

$^{17}F \rightarrow ^{17}O + e^+ +\nu$

$^{17}O + p \rightarrow (^{18}F)^* \rightarrow ^{14}N + \alpha$

ove appare ora lecito trascurare la piccola quantità di $^{18}F$ che decade nel suo stato fondamentale. Si vede come le precedenti reazioni realizzino un nuovo ciclo NO: un nucleo di azoto può aggregare successivamente 4 protoni per restituire infine ancora un nucleo di azoto più una particella $\alpha$. Siamo dunque in presenza di due cicli mutuamente accoppiati che realizzano il cosiddetto biciclo CN-NO nel quale tutti i nuclei pesanti coinvolti si presentano come elementi secondari. Si noti che, poichè i nuclei non sono in realtà nè creati nè distrutti ma solo trasformati l'uno nell'altro, in ogni caso ed in ogni momento il numero originale N0 di nuclei pesanti deve conservarsi, risultando

$$\Sigma N_i = N_0$$

figura04_08.jpg
Fig. 4.8 Abbondanze relative di equilibrio al variare della temperatura (in milioni di gradi) per gli elementi principali del ciclo CNO. Si è posto $\Sigma N_i = 1$

Alle minori temperature la cattura $^{16}O + p$ è largamente innefficiente e la combustione riposa essenzialmente sul solo ciclo CN. Attorno ai $20*10^6 ∞K$ ambo i cicli sono in piena efficienza e sia $^{12}C$ che $^{16}O$ vengono ridotti a pochi percento di $^{14}N$. Anche in questo caso la grande maggioranza dei nuclei di $^{14}N$ finiscono necessariamente con l'evolvere lungo il ciclo CN che fornisce quindi in ogni caso il maggior contributo alla generazione di energia. L'importanza del ciclo NO discende dall'evidenza che il gas interstellare da cui originano le stelle risulta in genere relativamente ricco di elementi multipli di $\alpha$, quali $^{12}C$ e $^{16}O$, a fronte di una relativa sottoabbondanza di $^{14}N$. L'efficienza del ciclo NO ha dunque l'effetto di rendere disponibili per il ciclo CN gli originali nuclei di $^{16}O$ presenti nella materia.

Quanto sinora esposto ha come importante conseguenza che l'efficienza di una combustione CNO viene dunque memorizzata nella abbondanza relativa di quei tre elementi, secondo lo schema:

Gas non processato $^{12}C$ $\Uparrow$ $^{14}N$ $\Downarrow$ $^{16}O$ $\Uparrow$

Gas processato CN $^{12}C$ $\Downarrow$ $^{14}N$ $\Uparrow$ $^{16}O$ $\Uparrow$

Gas processato CNO $ ^{12}C$ $\Downarrow$ $^{14}N$ $\Uparrow$ $^{16}O$ $\Downarrow$

figura_04_09.jpg
Fig. 4.9 La produzione di energia dalla catena pp e dal ciclo CNO al variare della temperatura in milioni di gradi. Si è assunta una composizione chimica solare.

La Figura 4.7 riporta l'andamento col tempo delle abbondanze dei nuclei nel caso di combustione CNO in una miscela con abbondanze originali solari alle condizioni indicate. Si nota come prima $^{12}C$ e poi $^{16}O$ vengano trasformati in $^{14}N$, mentre $^{13}C$ e $^{15}N$ vengono prodotti e mantenuti all'equilibrio con i loro capostipiti $^{12}C$ e $^{14}N$. I tre elementi più abbondanti del ciclo CNO risultano in ogni caso $^{12}C$, $^{14}N$ e $^{16}O$, cui corrispondono le più piccole sezioni d'urto per le reazioni di distruzione e, conseguentemente, i tempi più lunghi per il raggiungimento dell'equilibrio. Per seguire nel dattaglio l'evoluzione di una combustione CNO sarà quindi sufficiente valutare istante per istante l'efficienza delle tre reazioni

$^{12}$C + p $\rightarrow$ $^{13}$N + $\gamma$

$^{14}$N + p $\rightarrow$ $^{15}$O + $\gamma$

$^{16}$O + p $\rightarrow$ $^{17}$F + $\gamma$

e, eventualmente, se interessati ai dettagli temporali,

$^{13}$C + p $\rightarrow$ $^{14}$N + $\gamma$

che sono le quattro reazioni pseudoprimarie. Tutti gli altri elementi possono essere riguardati come strettamente secondari, raggiungendo in tempi trascurabili composizioni minime di equilibrio. La Figura 4.8 mostra la dipendenza dalla temperatura delle abbondanze di equilibrio dei quattro elementi pseudoprimari.

L'efficienza della combustione CNO dipende per ogni temperatura dalla abbondanza di tali elementi nel gas stellare. Nel caso di gas con composizione solare ($Z\sim 0.02$) circa il 50\% della massa degli elementi pesanti è attribuibile a C,N ed O e attorno ai $17~ 10^6~ ∞K$ la combustione CNO inizia a predominare sulla pp (Fig. 4.9). Tale soglia non dipende peraltro criticamente dall'abbondanza di CNO. La dipendenza dalla temperatura della generazione di energia va infatti nei due casi come

$\varepsilon_{pp}\propto T^4 \ \ \varepsilon_{CNO}\propto T^{15}$

e modeste variazioni di temperatura sono quindi sufficienti per bilanciare variazioni anche notevoli nell'abbondanza di nuclei CNO.

figura_04_10.jpg
Fig. 4.10 Schema delle reazioni che compongono il biciclo CN-NO. Sono indicate anche le reazioni che prendono origine dai rari nuclei di $^{18}$F che decadono nel loro stato fondamentale

La Figura 4.10 riporta uno schema delle reazioni che compongono il biciclo CN-NO, con anche indicate le reazioni che prendono origine dai rari nuclei di $^{18}$F che decadono nello stato fondamentale anzichè restituire un nucleo di $^{14}$N ed una particella $\alpha$. In linea di principio potrebbe preoccupare l'esistenza al termine di queste ultime reazioni del nucleo stabile $^{20}$Ne: ogni nucleo di $^{20}$Ne formato viene infatti sottratto al ciclo, diminuendone l'efficienza. E' peraltro facile verificare che il numero di nuclei di $^{20}$Ne così prodotti risulta del tutto trascurabile. Dal rapporto delle rispettive sezioni d'urto p,$\gamma$ e p,$\alpha$ si ricava infatti la probabilità dei nuclei eccitati (= la frazione) di decadere nel loro stato fondamentale per proseguire la catena di reazioni. Risulta così

($^{18}$F)$^* \rightarrow ^{18}$F $\sim$ 0.3; ($^{19}$F)$^* \rightarrow ^{19}$F $\sim$ 0.0008; ($^{20}$Ne)$^* \rightarrow



ricordando che circa solo l' 1% dei nuclei transita per il ciclo NO si ricava che la probabilità di formare un nucleo di $^{20}$Ne è minore di 10$^{-9}$. Questa probabilità va confrontata con il numero di cicli che compie un nucleo prima che sia esaurito l'idrogeno. Nel caso di materia di tipo solare, Z=0.02, abbiamo indicato come vi sia all'incirca 1 nucleo di CNO per ogni 1000 nuclei di idrogeno, e questo è quindi il numero di cicli compiuto da ogni nucleo di CNO. E' subito visto che non solo nel caso del Sole, ma anche per materia molto più povera di metalli, la probabilità di formare $^{20}$Ne risulta microscopica.

Per completare il quadro resta da indicare come la serie di reazioni sin qui descritta riposi sull'implicita assunzione che il tempo tra due successive catture protoniche sia lungo rispetto ai decadimenti $\beta$. Ciò è sempre vero nelle fasi di normale evoluzione delle strutture stellari, nelle quali la temperatura è governata dall'equilibrio idrostatico e le fusioni nucleari - come abbiamo indicato - sono eventi rari. Non è più vero durante le ultime fasi di implosione-esplosione, durante le quali la temperatura può aumentare improvvisamente di ordini di grandezza. In tal caso cresce la sezione d'urto per cattura protonica e diventa probabile che gli elementi del ciclo instabili $\beta^+$ catturino un protone prima di decadere. In tal caso si aprono ulteriori canali di combustione indicati con il termine CNO veloce ($\rightarrow $ A4.3).





c04/il_biciclo_cn-no.txt · Ultima modifica: 02/11/2017 12:45 da marco